Дано дифференциальное уравнение второго порядка

Xy''-y'=x2arctx
В данном уравнение в явном виде не входит функция y, проведем замену: y'=z, то y''=z'.
Тогда
xz'-z=x2arctx
Получили линейное неоднородное уравнения первого порядка. Используем метод вариации произвольной постоянной. Решим вспомогательное уравнение:
xz'-z=0 или xdzdx-z=0
Разделим переменные и интегрируем:
xdzdx=z
dzz=dxx
dzz=dxx
lnz=lnx+C
lnz=lnx+ln⁡|C|
lnz=lnCx
z=Cx, где C=const
В неоднородном уравнении проведем замену:
z=ux⇒z'=ux'=u'x+ux'=u'x+u
xz'-z=x2arctx
xu'x+u-ux=x2arctx/:x≠0
u'x+u-u=xarctx
u'x=xarctx/:x≠0
u'=arctx
dudx=arctx
du=arctxdx
du=arctxdx
u=arctxdx=метод интегрирование по частямudv=uv-vdu=
=u=arctx, dv=dxdu=dx1+x2, v=x=x∙arctx-x dx1+x2=1+x2=t2xdx=dtxdx=dt2=
= x∙arctx-12dtt=x∙arctx-12lnt+C1=x∙arctx-12ln1+x2+C1
Таким образом
z=ux=x∙arctx-12ln1+x2+C1x=x2arctx-12xln1+x2+C1x
Обратная замена z=y'
y'=x2arctx-12xln1+x2+C1x
y=x2arctxdxI1-12xln1+x2dxI2+C1xdxI3
I1=x2arctxdx=u=arctx,dv=x2dxu=arctx, dv=dxdu=dx1+x2, v=x33=x33arctx-x33dx1+x2=
=x33arctx-13x2∙xdx1+x2=1+x2=tx2=t-12xdx=dtxdx=12dt=x33arctx-13t-1t∙12dt=
=x33arctx-161-1tdt=x33arctx-16t-lnt=
=x33arctx-161+x2-ln⁡|1+x2|
I2=12xln1+x2dx=12xln1+x2dx=
=метод интегрирование по частямu=ln1+x2,dv=xdxdu=2x1+x2dx, v=x22=x22ln1+x2-x22∙2x1+x2dx=
=x22ln1+x2-x31+x2dx=x22ln1+x2-121+x2-ln1+x2
I3=C1xdx=C1∙x22
Тогда
y=x33arctx-161+x2-ln1+x2-
-x22ln1+x2-121+x2-ln1+x2+C1∙x22+C2=
=x33arctx-161+x2-ln1+x2-x22ln1+x2+121+x2-ln1+x2
+C1∙x22+C2=
=x33arctx-x22ln1+x2+131+x2-ln1+x2+C1∙x22+C2
Ответ: Общее решение y=x33arctx-x22ln1+x2+131+x2-ln1+x2+C1∙x22+C2,
где C1, C2= const