Найти производную скалярного поля u=1-zex2+y3+z2

Производная скалярного поля u по направлению находится как
∂u∂l=grad u,l,
где grad u − градиент функции u; l − единичный вектор заданного направления.
Градиент скалярной функции это вектор, который определяется как
grad u=∇u=∂u∂xi+∂u∂yj+∂u∂zk.
В нашем случае
∂u∂x=∂∂x1-zex2+y3+z2=2x1-zex2+y3+z2,
∂u∂y=∂∂y1-zex2+y3+z2=3y21-zex2+y3+z2,
∂u∂z=∂∂z1-zex2+y3+z2=-ex2+y3+z2+2z1-zex2+y3+z2=
=2z-2z2-1ex2+y3+z2.
В точке M(1;1;0) градиент u(x,y,z) равен
grad uM=∂u∂x1;1;0i+∂u∂y1;1;0j+∂u∂z1;1;0k=2e2i+3e2j-e2k.
Единичный вектор в направлении вектора a равен
l=aa=3i-4j+2k32+-42+22=329i-429j+229k.
Производная функции u по направлению вектора a будет
∂u∂l=grad u,l=2e2∙329+3e2∙-429-e2∙229=-8e229.
Ответ:
∂u∂lM=-8e229.