Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса; в) средствами матричного исчисления. x-4y-2z=-33x+y+z=53x-5y-6z=-9
Решение
С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А=1-4-23113-5-6
данной системы и ранг расширенной матрицы
В=1-4-23113-5-6-35-9
Для этого умножим первую строку матрицы на -3 сложим со второй, а затем сложим с третьей; умножим вторую строку матрицы на -7/13 сложим с третей, получим
В=1-4-23113-5-6-35-9~1-4-20137070-3140~1-4-2013700-49/13-314-98/13
Следовательно, rangA = rangB = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение
а) Находим решение системы по формулам Крамера
Найдем определитель основной матрицы системы:
∆=1-4-23113-5-6=111-5-6+4∙313-6-2∙313-5=
=1-6+5+4∙-18-3-2∙-15-3=-1-84+36=-49
Теперь вычислим вспомогательные определители
∆x=-3-4-2511-9-5-6=-311-5-6+4∙51-9-6-2∙51-9-5=
=-3∙-6+5+4∙-30+9-2∙-25+9=3-84+32=-49;
∆y=1-3-23513-9-6=151-9-6+3∙313-6-2∙353-9=
=1∙-30+9+3-18-3-2∙-27-15=-21-63+84=0;
∆z=1-4-33153-5-9=115-5-9+4∙353-9-3∙313-5=
=1∙-9+25+4∙-27-15-3∙-15-3=16-168+54=-98;
Используя формулы Крамера, находим неизвестные x, y и z
x=∆x∆=-49-49=1, y=∆y∆=0-49=0,z=∆z∆=-98-49=2.
б) Метод Гаусса
. Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Умножим первую строку матрицы на -3 сложим со второй, а затем сложим с третьей; делим вторую строку на 6,5; умножим вторую строку матрицы на 113 ; вторую строку умножим на -7 и сложим с третей, получим
1-4-23113-5-6-35-9~1-4-20137070-3140~1-4-201713070-314130~
~1-4-20171300-4913-31413-9813
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
x-4y-2z=-3y+713z=1413-4913z=-9813
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
z=2,y=0, x=1
Следовательно, x=1,y = 0, z=2
в) Решение матричным методом:
Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:
А=1-4-23113-5-6, Х=xyz, В=-35-9
Запишем систему в матричном виде AX B :
1-4-23113-5-6∙xyz=-35-9
Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.Определитель основной матрицы системы:
∆=1-4-23113-5-6=-49
Алгебраические дополнения всех элементов:
A11=11-5-6=-1; A12=-313-6=21; A13=313-5=-18;
A21=--4-2-5-6=-14; A22=1-23-6=0; A23=-1-43-5=-7;
A31=-4-211=-2; A32=-1-231=-7; A33=1-431=13
Транспонированная союзная матрица:
AT=-1-14-2210-7-18-713
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=-149-1-14-2210-7-18-713=-1492724937017184917-1349
Найдем решение
X=xyz=A-1∙B=-1492724937017184917-1349∙-35-9=
=149∙-3+27∙5+249∙-9-37∙-3+0∙5+17∙-91849∙-3+17∙5-1349∙-9=-349+107-184997+0-97-5449+57+11749=102
Отсюда получаем решение системы: x=1, y=0, z=2.
Ответ: x=1, y=0, z=2.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
