Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А=22-31-21212
данной системы и ранг расширенной матрицы
В=22-31-21212062
Для этого умножим первую строку матрицы на -1/2 сложим со второй, а затем сложим с третьей; умножим вторую строку матрицы на -1/3 сложим с третей, получим
В=22-31-21212062~1210-35/20-15162~1210-35/20025/6160
Следовательно, rangA = rangB = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение
а) Находим решение системы по формулам Крамера
Найдем определитель основной матрицы системы:
∆=22-31-21212=2-2112-2∙1122-3∙1-221=
=2-4-1-2∙2-2-3∙1+4=-10-0-15=-25
Теперь вычислим вспомогательные определители
∆x=02-36-21212=0-2112-2∙6122-3∙6-221=
=0∙-4-1-2∙12-2-3∙6+4=0-20-30=-50;
∆y=20-3161222=26122-0∙1122-3∙1622=
=2∙12-2-0∙2-2-3∙2-12=20+30=50;
∆z=2201-26212=2-2612-2∙1622+0∙1-221=
=2∙-4-6-2∙2-12+0∙1+4=-20+20=0;
Используя формулы Крамера, находим неизвестные x, y и z
x=∆x∆=-50-25=2, y=∆y∆=50-25=-2,z=∆z∆=0-25=0.
б) Метод Гаусса . Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Поменяем первую и вторую строки. Умножим первую строку матрицы на -2 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -1 и сложим с третьей; делим вторую строку на 7; умножим вторую строку матрицы на 16 сложим ;вторую строку умножим на-5 и сложим с третей, получим
22-31-21212062~1-2122-3212602~1-2106-50506-12-10~
~1-2101-5/60025/66-20
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
x-2y+z=6y-56z=-2256z=0
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
z=0,y=-2, x=2
Следовательно, x=0,y = -2, z=2
в) Решение матричным методом:
Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:
А=22-31-21212, Х=xyz, В=062
Запишем систему в матричном виде AX B :
22-31-21212∙xyz=062
Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.Определитель основной матрицы системы:
∆=22-31-21212=-25
Алгебраические дополнения всех элементов:
A11=-2112=-5; A12=-1122=0; A13=1-221=5;
A21=-2-312=-7; A22=2-322=10; A23=-2221=2;
A31=2-3-21=-4; A32=-2-311=5; A33=221-2=-6
Транспонированная союзная матрица:
AT=-5-7-4010-552-6
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=-1-25-5-7-4010-552-6=157254250-2515-15-225625
Найдем решение
X=xyz=A-1∙B=157254250-2515-15-225625∙062
=15∙0+725∙6+425∙20∙0+-25∙6+15∙2-15∙0+-225∙6+625∙2=0+4225+8250-125+250-1225+1225=2-20
 Отсюда получаем решение системы: x=2, y=-2, z=0.
Ответ: x=2, y=-2, z=0.