Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А=4-3225-356-2
данной системы и ранг расширенной матрицы
В=4-3225-356-29418
Для этого умножим первую строку матрицы на -2/4 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -5/4 сложим с третьей; умножим вторую строку матрицы на -3/2 сложим с третей, получим
В=4-3225-356-29418~4-32013/2-4039/4-9/29-1/227/4~3220-133-730032173152
Следовательно, rangA = rangB = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение
а) Находим решение системы по формулам Крамера
Найдем определитель основной матрицы системы:
∆=4-3225-356-2=45-36-2+3∙2-35-2+2∙2556=
=4-10+18+3∙-4+15+2∙12-25=32+33-26=39
Теперь вычислим вспомогательные определители
∆x=9-3245-3186-2=95-36-2+3∙4-318-2+2∙45186=
=9∙-10+18+3∙-8+54+2∙24-90=72+138-132=78;
∆y=49224-3518-2=44-318-2-9∙2-35-2+2∙24518=
=4∙-8+54-9∙-4+15+2∙36-20=184-99+32=117;
∆z=4-392545618=454618+3∙24518+9∙2556=
=4∙90-24+3∙36-20+9∙12-25=264+48-117=195;
Используя формулы Крамера, находим неизвестные x, y и z
x=∆x∆=7839=3, y=∆y∆=11739=3,z=∆z∆=19539=5.
б) Метод Гаусса . Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Делим первую строку на 4.Умножим первую строку матрицы на -2 сложим со второй, а затем умножим первую строку матрицы на -5 и сложим с третьей; делим вторую строку на 6,5; умножим вторую строку матрицы на -15 ; вторую строку умножим на -9,75 и сложим с третей, получим
4-3225-356-29418~1-0,750,525-356-22,25418~1-0,750,506,5-409,75-4,52,25-0,56,75~
~1-0,750,501-81309,75-4,52,25-1136,75~1-0,750,501-813001,52,25-1137,5
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
x-0,75y+0,5z=2,25y-813z=-1131,5z=7,5
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
z=5,y=3, x=2
Следовательно, x=2,y = 3, z=5
в) Решение матричным методом:
Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:
А=4-3225-356-2, Х=xyz, В=9418
Запишем систему в матричном виде AX B :
4-3225-356-2∙xyz=9418
Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.Определитель основной матрицы системы:
∆=4-3225-356-2=39
Алгебраические дополнения всех элементов:
A11=5-36-2=8; A12=-2-35-2=-11; A13=2556=-13;
A21=--326-2=6; A22=425-2=-18; A23=-4-356=-39;
A31=-325-3=-1; A32=-422-3=16; A33=4-325=26
Транспонированная союзная матрица:
AT=86-1-11-1816-13-3926
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=-13986-1-11-1816-13-3926=-839213-1391139-6131639-13-123
Найдем решение
X=xyz=A-1∙B=-839213-1391139-6131639-13-123∙9418=
=-839∙9+213∙4-139∙181139∙9-613∙4+1639∙18-13∙9-1∙4+23∙18=7239+813-1839-3313-2413+9613-3-4+12=235
 Отсюда получаем решение системы: x=2, y=3, z=5.
Ответ: x=2, y=3, z=5.