Данную систему уравнений исследовать и решить тремя способами

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
А=321231213
данной системы и ранг расширенной матрицы
В=3212312135111
Для этого умножим первую строку матрицы В на 1/3 ; умножим первую строку матрицы на -2 сложим со второй, а затем сложим с третьей; умножим вторую строку матрицы на 15 сложим с третей, получим
В=3212312135111~1231323121353111~12313053130-137353-73233~12313053130012553-73365
Следовательно, rangA = rangB = 3 (числу неизвестных), исходная система имеет единственное решение
а) Находим решение системы по формулам Крамера
Найдем определитель основной матрицы системы:
∆=321231213=33113-2∙2123+1∙2321=
=39-1-2∙6-2+1∙2-6=24-8-4=-12
Теперь вычислим вспомогательные определители
∆x=5211311113=53113-2∙11113+1∙13111=
=5∙9-1-2∙3-11+1∙1-33=40+16-32=24;
∆y=3512112113=311113-5∙2123+1∙21211=
=3∙3-11-5∙6-2+1∙22-2=-24-20+20=-24;
∆z=3252312111=331111-2∙21211+5∙2321=
=3∙33-1-2∙22-2+5∙2-6=96-40-20=36;
Используя формулы Крамера, находим неизвестные x, y и z
x=∆x∆=2412=2, y=∆y∆=-2412=-2,z=∆z∆=3612=3.
б) Метод Гаусса . Составим расширенную матрицу и проведем необходимые элементарные преобразования. Элементы первой строки делим на 3; умножим первую строку матрицы на -2 сложим со второй, а затем сложим с третьей; умножим вторую строку матрицы на 35 сложим ;вторую строку умножим на 13 и сложим с третей, получим
3212312135111~1231323121353111~12313053130-137353-73233~1231301150-137353-75233~
~1231301150012553-75365
Последней матрицей соответствует система, эквивалентная исходной:
x+23y+13z=53y+15z=-75125z=365
Из этой системы, двигаясь снизу вверх, последовательно находим:
z=365∙512=3,y=-75-15∙3=-2, x=53--2∙23-3∙13=2
Следовательно, x=2,y = -2, z=3
в) Решение матричным методом:
Формируем матрицы, состоящие из элементов системы:
А=321231213, Х=xyz, В=5111
Запишем систему в матричном виде AX B :
321231213∙xyz=5111
Прежде всего, найдем матрицу А-1, обратную матрице А.Определитель основной матрицы системы:
∆=321231213=-12
Алгебраические дополнения всех элементов:
A11=3113=8; A12=-2124=-4; A13=2321=-4;
A21=-2113=-5; A22=3123=7; A23=-3221=1;
A31=2131=-1; A32=-3121=-1; A33=3223=-5
Транспонированная союзная матрица:
AT=8-5-1-47-1-415
Тогда обратная матрица имеет вид
A-1=ATdetA=-1128-5-1-47-1-415=23-512-112-13712-112-13112512
Найдем решение
X=xyz=A-1∙B=23-512-112-13712-112-13112512∙5111
=23∙5+-512∙1+-112∙11-13∙5+712∙1+-112∙11-13∙5+112∙1+512∙11=103-512-1112-53+712-1112-53+112+5512=2-23
 Отсюда получаем решение системы: x=2, y=-2, z=3.