Вычислите с помощью вычетов интеграл 02πdx7+6cosx2

Введем замену
z=eix⇒ix=lnz⇒x=-ilnz⇒dx=-idzz;
x∈0,2π⇒z=1;cosx=e2ix+12eix=z2+12z.
02πdx7+6cosx2=-iz=1dzz7+6z2+12z2=-iz=1zdz3z2+7z+32
Особые точки fz=z3z2+7z+32, лежащие в области, ограниченной контуром z=1, найдем из уравнения
3z2+7z+3=0⇒z1,2=-7±49-366=-7±136⇒z1=-7+136<1, z2>1.
Найдем вычеты в особой точке z1:
resf-7+136=limz→z1fzz-z12'=19limz→z1zz-z22'=
=19limz→z1z-z22-2zz-z2z-z24=-19limz→z1z+z2z-z23=-19∙z1+z2z1-z23=
=-19∙-7+136+-7-136-7+136--7-1363=-19∙-731333=71313.
z=1zdz3z2+7z+32=2πi∙resf-7+136=2πi∙71313=14πi1313.
02πdx7+6cosx2=-i∙14πi1313=14π1313.
Ответ: 14π1313.