Дана система из трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными x

По формулам Крамера
Вычислим определитель ∆ матрицы методом разложения по первой строке
∆=2-31-4-32-3-23=2∙-32-23--3∙-42-33+1∙-4-3-3-2=
=2-3∙3-(-2)∙2+3-4∙3-(-3)∙2+(-4)∙(-2)-(-3)∙(-3)=
=-10-18-1=-29≠0
Итак, главный определитель системы уравнений отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:
x=∆x∆ ,y=∆y∆ ,z=∆z∆ , где определители ∆x,∆y,∆z получаются из определителя ∆ путем замены 1-го, 2-го и 3-го столбца соответственно на столбец -5-4-1 свободных членов. Вычислим определители ∆x,∆y,∆z
∆x=-5-31-4-32-1-23=-5∙-32-23--3∙-42-13+1∙-4-3-1-2=
=-5-3∙3--2∙2+3-4∙3--1∙2+(-4)∙(-2)-(-1)∙(-3)=
=25-30+5=0;
∆y=2-51-4-42-3-13=2∙-42-13--5∙-42-33+1∙-4-4-3-1=
=2-4∙3-(-1)∙2+5-4∙3-(-3)∙2+(-4)∙(-1)-(-3)∙(-4)=
=-20-30-8=-58;
∆z=2-3-5-4-3-4-3-2-1=2∙-3-4-2-1--3∙-4-4-3-1-5∙-4-3-3-2=
=2-3∙-1--2∙-4+3-4∙-1--3∙-4-
-5-4∙-2--3∙-3=-10-24+5=-29
Таким образом,
x=∆x∆=0-29=0 ; y=∆y∆=-58-29=2 ;z=∆z∆=-29-29=1
методом Гаусса
Составим матрицу из коэффициентов перед неизвестными переменными и свободных членов
2-31-4-32-3-23-5-4-1~
Умножим первую строку на -2 и сложим со второй строкой
~2-31030-3-23-56-1~
Разделим вторую строку на 3
~2-31010-3-23-52-1~
Умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей строкой
~2-31010-303-523~
Разделим третью строку на 3
~2-31010-101-521
Такой расширенной матрице соответствует следующая система уравнений
2x-3y+z=-5y=2-x+z=1=>2x-3∙2+1+x=-5y=2z=1+x=>3x=0y=2z=1+x=>x=0y=2z=1
с использованием обратной матрицы
Решим систему с помощью обратной матрицы по формуле
X=A-1∙B, где X=x1x2x3,A=2-31-4-32-3-23, B=-5-4-1
Найдем обратную матрицу A-1 по формуле
A-1=1∆A∙A11A21A31A12A22A32A13A23A33
Для этого вычислим алгебраические дополнения
A11=-32-23=-3∙3--2∙2=-5 торую и третью строкиA21=--31-23=--3∙3-(-2)∙1=7
A31=-31-32=-3∙2--3∙1=-3
A12=--42-33=--4∙3-(-3)∙2=6
A22=21-33=2∙3-(-3)∙1=9
A32=-21-42=-2∙2--4∙1=-8
A13=-4-3-3-2=-4∙-2--3∙-3=-1
A23=-2-3-3-2=-2∙(-2)-(-3)∙-3=13
A33=2-3-4-3=2∙-3--4∙-3=-18
Таким образом, A-1=-129∙-57-369-8-113-18
Отсюда искомая матрица
X=A-1∙B=-129∙-57-369-8-113-18∙-5-4-1=
=-129∙-5∙-5+7∙-4-3∙-16∙-5+9∙-4-8∙-1-1∙-5+13∙-4-18∙-1=-129∙0-58-29=
=-129∙0-129∙(-58)-129∙(-29)=021
Проверка:
Подставим найденное решение в левую часть каждого уравнения системы
2∙0-3∙2+1=-5;-4∙0-3∙2+2∙1=-4;-3∙0-2∙2+3∙1=-1=>-5=-5;-4=-4;-1=-1
Получены соответствующие правые части, таким образом, решение найдено верно
2x-3y+z=-5;-4x-3y+2z=-4;-3x-2y+3z=-1.
Ответ: x=0, y=2, z=1