Дана плотность распределения fx=0 если x≤0ax-x22

Найдем параметр a используя свойство плотности распределения
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞00dx+02ax-x22dx+2∞0dx=a02x-x22dx=ax2202-x3602=a2-43=23a=1
23a=1 ⟹a=32
Плотность распределения имеет вид
fx=0, если x≤032x-x22, если 0<x≤20, если x>2
Найдем функцию распределения. Используем формулу
Fx=-∞xfxdx
Если -∞<x≤0, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dx=0
Если 0<x≤2, то
Fx=-∞00dx+0x32x-x22dx=32x22-x360x=32x22-x36
Если 2<x<+∞, то
Fx=-∞00dx+0232x-x22dx+2x0dx=32x22-x3602=322-43=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, если x≤032x22-x36, если 0<x≤21, если x>2
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞0x∙0dx+02x∙32x-x22dx+2∞x∙0dx=3202x2-x32dx=32x33-x4802=3283-2=1
Дисперсия
DX=-∞∞x2fxdx-MX2=-∞0x2∙0dx+02x2∙32x-x22dx+2∞x2∙0dx-12=3202x3-x42dx-1=32x44-x51002-1=324-165-1=65-1=15=0,2
Среднее квадратическое отклонение
σ=DX=0,2≈0,4472
Построим график функции Fx
Fx=0, если x≤032x22-x36, если 0<x≤21, если x>2
Область определения функции DF=-∞; +∞.
F+0=limx→+0Fx=limx→+032x22-x36=0
F2-0=limx→2-0Fx=limx→2-032x22-x36=1
Функция Fx непрерывна в точке 0, так как
F-0=F0=F+0
Функция Fx непрерывна в точке 2, так как
F2-0=F2=F2+0
Функция непрерывна в каждой точке области определения DFx.
Исследует первую производную функции Fx на интервале 0;2.
F'x=32x-x22
Приравняем к нулю первую производную Fx
32x-x22=0
x-x22=0
x1=0x2=2
При x∈0;2 производная F'x>0, поэтому функция возрастает на данном промежутке . На промежутке 0;2 экстремумов нет.
Исследуем функцию на перегибы и выпуклость