Дана задача ЛП Fx1 x2 x3 x4=2x1+4x2+23x3+31x4→min

Построим двойственную задачу по следующим правилам.
1. Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.
2. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.
3. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.
Столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной . Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется.
Расширенная матрица A.
-522-1141223315-266
Транспонированная матрица
AT =-5-11316212562423-2
Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства-ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам-ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной.
Неравенства, соединенные стрелочками (↔), называются сопряженными.
Исходная задача I
Двойственная задача II
x1 ≥ 0 ↔ -5y1+2y2≤2
x2 ≥ 0 ↔ -y1+y2≤4
x3 ≥ 0 ↔ y1+2y2≤23
x4 ≥ 0 ↔ 5y1-2y2≤31
2x1+4x2+23x3+31x4 → min
↔ 6y1+6y2 → max
-5x1-x2+x3+5x4≥6 ↔ y1 ≥ 0
2x1+x2+2x3-2x4≥6 ↔ y2 ≥ 0
Двойственная задача имеет вид:
ZY=6y1+6y2→max
-5y1+2y2≤2-y1+y2≤4y1+2y2≤235y1-2y2≤31y1≥0, y2≥0
Согласно первой теореме двойственности, оптимальное значение целевой функции равно
Zmax=Fmin=96
Применим вторую теорему двойственности