Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

1) Составим характеристическое уравнение:
-1-k-3411-k=0
Раскроем определитель:
-1-k*1-k-1*-34=0
-1+k-k+k2+34=0
k2-14=0
k2=14
k1=-12; k2=12
Так как характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:
xt=C1λ1ek1t+C2λ2ek2tyt=C1μ1ek1t+C2μ2ek2t
Рассмотрим корень k1=-12, подставляем его в характеристическое уравнение:
-1--12-3411--12=0
-12-34132=0
Получили систему двух линейных уравнений:
-12λ1-34μ1=0λ1+32μ1=0
Из обоих уравнений следует равенство:
32μ1=-λ1
μ1=-23λ1
Наименьшее значение λ1 при котором μ1 будет целым, равно 3, то есть:
λ1=3→μ1=-23*3=-2
Рассмотрим корень k2=12, подставляем в характеристическое уравнение:
-1-12-3411-12=0
-32-34112=0
Получили систему двух линейных уравнений:
-32λ2-34μ2=0λ2+12μ2=0
Из обоих уравнений следует равенство:
μ2=-2λ2
Наименьшее значение λ2 при котором μ2 будет целым, равно 1, то есть:
λ2=1→μ2=-2*1=-2
Тогда искомое решение системы дифференциальных уравнений выглядит так:
xt=3C1e-t2+C2et2yt=-2C1e-t2-2C2et2
2) В матричном виде система запишется:
dYdt=AY
В данной формуле:
A=-1-3411
Y=xy
dYdt=dxdtdydt
Тогда решение выглядит так:
Y=xt=3C1e-t2+C2et2yt=-2C1e-t2-2C2et2