Дана прямая x+y-1=0 и эллипс x225+y225-1=0. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Дана прямая x+y-1=0 и эллипс x225+y225-1=0

Дана прямая x+y-1=0 и эллипс x225+y225-1=0 .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Дана прямая: x+y-1=0 и эллипс x225+y225-1=0. Найти минимальное и максимальное расстояние от точек эллипса до прямой.

Ответ

наименьшее расстояние равно 0 в точках 4;-3и -4;3; набольшее расстояние 5+22 в точке M2-52; -52

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Запишем уравнение прямой с коэффициентом
x+y-1=0→y=-x+1
Преобразуем уравнение эллипса
x225+y225-1=0→x225+y225=1→x2+y2=25
Получили уравнение окружности радиусом 5 с центром в начале координат
Наименьшее расстояние между прямой и окружностью равно 0 в точках их пересечения (4; -3) и (-4; 3)
Вектор нормали к прямой x+y-1=0
Nпр=fx';fy'={1;1}
Вектор нормали к окружности x2+y2=25
Nокр=fx';fy'={2x;2y}
Пусть (x0; y0) – точка на окружности.
Вектор нормали к прямой и вектор нормали к окружности коллинеарны, поэтому:
2x01=2y01→ x0=y0
Найдем координаты точек из уравнения окружности
x02+y02=25→2y02=25→y02=252→y0=±52
Получили точки на окружности M152; 52 и M2-52; -52
Расстояние от найденных точек до прямой
d1=52+52-112+12=52-12=5-22;
d2=-52-52-112+12=52+12=5+22
Ответ: наименьшее расстояние равно 0 в точках 4;-3и -4;3;
набольшее расстояние 5+22 в точке M2-52; -52

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу