Дана квадратичная форма. Написать матрицу этой квадратичной формы. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Дана квадратичная форма. Написать матрицу этой квадратичной формы

Дана квадратичная форма. Написать матрицу этой квадратичной формы .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Дана квадратичная форма. Написать матрицу этой квадратичной формы, исследовать квадратичную форму на положительную определенность с помощью критерия Сильвестра, привести квадратичную форму с помощью ортогонального преобразования к каноническому виду. -2x12+2x22-2x32+4x1x2-6x1x3+4x2x3

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Запишем матрицу квадратичной формы:
A=-22-3222-32-2
Вычислим значения угловых миноров матрицы:
δ1=-2
δ2=-2222=-4-4=-8
δ3=-22-3222-32-2=8-12-12-18+8+8=-18
Так как угловые миноры не положительны и не чередуются по знакам, то квадратичная форма знакопеременна.
Найдем собственные значения матрицы:
A-λE=0
-2-λ2-322-λ2-32-2-λ=0
2-λ(2+λ)2-12-12-92-λ+42+λ+42+λ=0
2-λ4+4λ+λ2-12-12-92-λ+42+λ+42+λ=0
8-4λ+8λ-4λ2+2λ2-λ3-12-12-18+9λ+8+4λ+8+4λ=0
-λ3-2λ2+21λ-18=0
Корни будем искать среди делителей свободного члена:
λ=1: -1-2+21-18=0
λ1=1 – корень.
Разделим характеристический многочлен на (λ-1)
-λ3-2λ2+21λ-18
λ-1
-λ3+λ2
-λ2-3λ+18
-3λ2+21λ-18
-3λ2+3λ
18λ-18
18λ-18
0
-λ3-2λ2+21λ-18=-λ-1λ2+3λ-18
λ2+3λ-18=0
D=9+72=81 λ2=-3-92=-6 λ3=-3+92=3
Найдем собственные векторы, отвечающие собственным значениям:
λ1=1
-32-3212-32-3X=0
-32-3212-32-3~-32-3212
Умножим первую строку на (2/3) и сложим со второй
-32-30730~-32-3010
-3x1+2x2-3x3=0x2=0 x1=-x3x2=0
Положим x3=1 => a1=-1;0;1
Нормируем вектор:
e1=a1a1=a1(-1)2+02+12=-12;0;12
λ2=-6
42-3282-324X=0
Умножим первую строку на (-1/2) и сложим со второй, умножим первую строку на (3/4) и сложим с третьей
42-3077207274
Умножим вторую строку на (-1/2) и сложим с третьей
42-30772000~42-30112000~42-30112
4x1+2x2-3x3=0x2+12x3=0 x1=x3x2=-12x3
Положим x3=2 => a2=2;-1;2
Нормируем вектор:
e2=a2a2=a222+(-1)2+22=23;-13;23
λ3=3
-52-32-12-32-5X=0
Умножим первую строку на (2/5) и сложим со второй, умножим первую строку на (-3/5) и сложим с третьей
-52-30-1545045-165
Умножим вторую строку на 4 и сложим с третьей
-52-30-1545000~-52-301-4000~-52-301-4
-5x1+2x2-3x3=0x2-4x3=0 x1=x3x2=4x3
Положим x3=1 => a3=1;4;1
Нормируем вектор:
e3=a3a3=a312+42+12=132;432;132
Тогда ортогональное преобразование:
C=-12231320-134321223132
При замене переменных:
x1=-12y1+23y2+132y3x2=-13y2+432y3x3=12y1+23y2+132y3
Квадратичная форма примет вид:
y12-6y22+3y32

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу