Дана консольная балка, на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 16 кН/м, сосредоточенная сила F = 20 кН и момент М = 16 кН⋅м. Длины участков зависят от параметра l = 9 м.
Требуется:
Построить эпюры внутренних изгибающих моментов и поперечных сил. Определить Mmax и Qmax и подобрать сечение двутавровой балки для схемы, если [σ] = 160 МПа. Построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений по сечению балки.
Решение
Составим уравнения равновесия и определим реакции опор:
MA=0;-q⋅l322-F·l3+M+RB⋅l-q⋅l3⋅l+l6=0;
RB=q⋅l322+F·l3-M-q⋅l3⋅l+l6l=16⋅322+20·93-16+16⋅3⋅(9+1,5)9=68,89 кН.
MB=0;-RA·l-M+q⋅l3⋅2l3+l6+F·2l3-q⋅l322=0;
RA=-M+q⋅l3⋅2l3+l6+F·2l3-q⋅l322l=-16+16⋅3⋅6+1,5+20·6-16⋅3229=47,11 кН.
Fx=0;RA-q·3-F+RB-q·3=0;47,11-16⋅3-20+68,89-16⋅3=0
Для построения эпюр M и Q балку необходимо разбить на грузовые участки. Балка, представленная на рабочей схеме, имеет четыре выраженных участка. Используя метод сечений отсчет координат производим от начала каждого участка.
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1≤3 м
Qx1=RA-qx1;
Qx1=0=RA=47,11 кН;Qx1=3 м=RA-q⋅3=47,11-16⋅3=-0,89 кН;
Mx1=RAx1-qx122; Mx1=0=0 ;Mx1=3м=47,11⋅3-16⋅322 =69,33 кН⋅м
Qx1=0; RA-qx1=0;x1=RAq=47,1116=2,94
Mx1=2,94м=47,11⋅2,94-16⋅2,9422=69,35 кН
2-й участок 0≤x2≤3 м
Qx2=RA-q⋅3-F=47,11-16⋅3-20=-20,89 кН;
Mx2=RA(3+x2)-q⋅332+x2-F⋅x2;
Mx2=0=RA·3-q⋅3⋅1,5=47,11⋅3-16⋅322 =69,33 кН⋅м;
Mx2=3 м=RA3+3-q⋅332+3-F⋅3;=47,11⋅6-16⋅3⋅4,5-20⋅3=6,67 кН⋅м;
3-й участок 0≤x3≤3 м
Qx3=RA-q⋅3-F=47,11-16⋅3-20=-20,89 кН;
Mx3=RA(6+x3)-q⋅33+32+x3-F⋅(3+x3)-M;
Mx3=0=RA⋅6-q⋅33+32-F⋅3-M=47,11⋅6-16⋅3⋅4,5-20⋅3-16=-9,33 кН⋅м;
Mx3=3 м=RA6+3-q⋅33+32+3-F⋅3+3-M=47,11⋅9-16⋅3⋅7,5-20⋅6-16=-72 кН⋅м
4-й участок 0≤x4≤3 м
Qx4=q·x4;
Qx4=0=0;
Qx4=3 м=q·3=16⋅3=48 кН;
Mx4=-q·x422;
Mx4=0=0
Mx4=3 м=-q·322=-16·322=-72 кН⋅м
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Опасным сечением для балки является сечение в точке опоры B, где Mx max=72 кН⋅м, Qy max=48 кН.
Составляем условие прочности для балки c двутавровым поперечным сечением:
σmax=Mx maxWx≤σ=160 МПа
[Wx]=Mx maxσmax=72⋅103160⋅106=450 см3
Для расчетного значения [Wx] выбираем из таблицы сортамента двутавр № 33 Wx=475 см3 и A=46,5 см2
Тогда
σдейств=MmaxWx=72⋅103475⋅10-6=151,6 МПа
При этом недогруз составит:
П=σдейств-σσ·100%=151,6-160160·100%=-5,25%
Так как недогруз может быть не больше 15%, то принимаем двутавр № 33.
Построение эпюр распределения напряжений для двутаврового сечения.
Геометрические характеристики двутавра № 18 h=330 мм, b=105 мм, d=7,0 мм, t=11,7 мм,Wx=143 см3,Jx=5810 см4,Sx'=281 см3
По формуле Журавского имеем:
τu=Q(max)∙Sxотсb*∙Jx
где Sxотс - статический момент отсеченной части площади расположенной выше рассматриваемой точки.
Sxотс=t·bh12-y2
для точки «1» сечения (b*=b=105 мм):
Sxотс=0; τu(1)=0.
для точки «2» сечения b*=b=105 мм и b*=t=11,7 мм:
Sxотс=t·bh12-t2 =11,7·105⋅3302-11,72≃195516 мм3195,52 см3;
τu2=48·103· 195,52⋅10-6 105·10-3·5810 ·10-8≃1,54 МПа,τu(2)*=48·103· 195,52⋅10-6 11,7·10-3·5810 ·10-8≃13,81 МПа
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
