Дана функция распределения случайной величины Х

Найдем плотность распределения вероятностей f(x), т.е. найдем дифференциальную функцию f(x)=F'x:
fx=dFxdx=ex, x≤0,0, x>0
Функция плотности распределения имеет вид
fx=ex, x≤0,0, x>0
Вычислим математическое ожидание Х по формуле:
MХ=-∞+∞f(x)∙xdx
Тогда
MХ=-∞0ex∙xdx +0+∞0∙xdx=-∞0xexdx
Сначала найдем неопределенный интеграл
xexdx=интегрирование по частямudv=uv-vdu=u=x, du=dxdv=exdx, v=ex=
=xex-exdx=xex-ex=ex(x-1)
Таким образом, математическое ожидание:
MХ=-∞0xexdx=limb→-∞b0xexdx=limb→-∞exx-10b=
=limb→-∞e00-1-ebb-1=-1-0=-1
Найдем дисперсию
DХ=-∞+∞fxx2dx –MХ2=-∞0ex∙x2dx +0+∞0∙x2dx-(-1)2=
=-∞0x2exdx -1
Сначала найдем неопределенный интеграл
x2exdx=интегрирование по частямudv=uv-vdu=u=x2, du=2xdxdv=exdx, v=ex=
=x2ex-2xexdx=x2ex-2xexdx=x2ex-2exx-1=
=x2-2x+2ex
DХ=-∞0x2exdx -1=limb→-∞b0x2exdx-1=limb→-∞x2-2x+2ex0b-1
=limb→-∞02-2∙0+2e0-b2-2b+2eb-1=2-0-1=1
Найдем вероятность события А
РA=Р-2≤X≤0=-20exdx =ex0-2=e0-e-2=1-1e2≈0,865
Построим график плотности вероятностей fx.
Рис