Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке с шагом h=0.2

А)
Приближенное решение в узлах ti, которое обозначим через yi, определяется по формуле
yi+1=yi+hfti,yi,
ti=1+ih, i=0,1,…,5
Сведём вычисления в таблицу:
i ti
fti,yi
yi
0 1 3 0
1 1,2 4,854545 0,6
2 1,4 7,603636 1,570909
3 1,6 11,69673 3,091636
4 1,8 17,81367 5,430982
5 2 26,98534 8,993716
б) Метод Рунге-Кутта второго порядка точности (h=0.2)
yi+1=yi+∆yi, i=0,1,…, 5
∆yi=12K1i+K2i
K1i=hfxi,yi
K2i=hfxi+h,yi+K1i
Сведём вычисления в таблицу:
i ti
fti,yi
∆yi
K1i
K2i
yi
0 1 3 0,785455 0,6 0,970909 0
1 1,2 5,242314 1,34158 1,048463 1,634698 0,785455
2 1,4 8,808575 2,228348 1,761715 2,694981 2,127035
3 1,6 14,51585 3,650683 2,903171 4,398196 4,355383
4 1,8 23,69958 5,94402 4,739916 7,148125 8,006066
5 2 38,5502 9,6593 7,71004 11,60856 13,95009
Метод Рунге-Кутта второго порядка точности (h=0.1)
i ti
fti,yi
∆yi
K1i
K2i
y*i
0 1 3 0,345714 0,3 0,391429 0
1 1,1 4,007891 0,458438 0,400789 0,516087 0,345714
2 1,2 5,28141 0,600989 0,528141 0,673836 0,804152
3 1,3 6,893561 0,781582 0,689356 0,873808 1,405141
4 1,4 8,9379 1,010751 0,89379 1,127713 2,186723
5 1,5 11,53444 1,302017 1,153444 1,45059 3,197474
6 1,6 14,83733 1,672749 1,483733 1,861765 4,499491
7 1,7 19,04469 2,145287 1,904469 2,386105 6,17224
8 1,8 24,41149 2,748387 2,441149 3,055625 8,317528
9 1,9 31,26608 3,519098 3,126608 3,911589 11,06591
10 2 40,0317 4,505193 4,00317 5,007217 14,58501
Решим аналитически:
y'-3t+1t+1y=3t, y1=0
Имеем линейное дифференциальное уравнение.
y=uv, y'=u'v+uv'
u'v+uv'-uv 3t+1t+1=3t
u'v+uv'-v 3t+1t+1=2t-2e2t
v'-v 3t+1t+1=0⟹dvdt= v3t+1t+1⟹dvv=3t+1dtt+1=3-2t+1dt
lnv=3t-2lnt+1=3tlne-2lnt+1⟹e3t(t+1)2
v=e3t(t+1)2
u'e3t(t+1)2=3t⟹u'=3t(t+1)2e3t
u=3t(t+1)2e-3tdt=C-e-3tt3+3t2+3t+1
y=e3t(t+1)2C-e-3t(t+1)3=Ce3t(t+1)2-t-1
y1=0⟹Ce34-2=0,C=8e-3
Точное решение:
yt=8e3t-3(t+1)2-t-1
Сравним все решения:
i ti
yЭ
Р-К: yh
Р-К: yh/2
yh-yh/2
yt
0 1 0 0 0 0 0
1 1,1
0,345714
0,348723
2 1,2 0,6 0,785455 0,804152 0,01870 0,811767
3 1,3
1,405141
1,419627
4 1,4 1,570909 2,127035 2,186723 0,05969 2,211274
5 1,5
3,197474
3,236562
6 1,6 3,091636 4,355383 4,499491 0,14411 4,559346
7 1,7
6,17224
6,261503
8 1,8 5,430982 8,006066 8,317528 0,31146 8,448139
9 1,9
11,06591
11,25432
10 2 8,993716 13,95009 14,58501 0,63493 14,85381
Построим график:
Правило Рунге практической оценки погрешности решения для численного метода второго порядка имеет вид
yt-yh/2=13yh-yh/2
Максимальная погрешность при t=2 для h = 0.1 не превышает
εрунге=0.634933≈0.21
Это примерно соответствует практической погрешности в точке t=2