Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения y'=f(x,yx), x∈[x0,b], yx0=y0 на заданном отрезке x∈[x0,b] вначале с шагом h = 0,2, затем с шагом h = 0,1: а) методом Эйлера; б) найти точное решение; в) для пункта а оценить погрешности с помощью правила Рунге; г) на одном рисунке построить графики точного решения и найденного приближенного решения; д) сформулировать задачу Коши для абсолютной погрешности решения ∆y(x) по отношению к ∆y0 - абсолютной погрешности величины начального условия y0. Считать, что начальное значение ∆y0 равно 5% от y0. Найти точное решение этой задачи и решение методом Рунге-Кутта второго порядка точности: y'=yx+xx, x∈x0=1;b=2, yx0=1

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Метод Эйлера:
xk+1=xk+h,
yk+1=yk+h f(xk,yk).
Вычисления представлены в таблицах:
С шагом h = 0,2:
xk
yk
1 1
1,2 1,4
1,4 1,89624
1,6 2,498432
1,8 3,215508
2 4,055777
С шагом h = 0,1:
xk
yk
1 1
1,1 1,2
1,2 1,42446
1,3 1,674618
1,4 1,951658
1,5 2,256712
1,6 2,590871
1,7 2,955187
1,8 3,350674
1,9 3,778318
2 4,239074
Найдем точное решение:
y'=yx+xx
dydx-yx=xx
dydx/x-yx2=x
ddxyx=x
ddxyxdx=xdx
yx=23x3/2+C
y=x23x3/2+C
Из начального условия y1=1:
1=23+C
C=13
y=x23x3/2+13
Оценим погрешности решения методом Эйлера с помощью правила Рунге:
R=maxiyih-y2ih22p-1
Для метода Эйлера p=1
R=maxiyih-y2ih2=max-0,02446;-0,05542;-0,092439;-0,135166;-0,1833=0,1833
Графики полученных решений:
Сформулируем задачу Коши для абсолютной погрешности решения ∆y(x) по отношению к ∆y0 - абсолютной погрешности величины начального условия y0

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Автор24, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу