Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения y'=f(x,yx), x∈[x0,b], yx0=y0 на заданном отрезке x∈[x0,b] вначале с шагом h = 0,2, затем с шагом h = 0,1: а) методом Эйлера; б) найти точное решение; в) для пункта а оценить погрешности с помощью правила Рунге; г) на одном рисунке построить графики точного решения и найденного приближенного решения; д) сформулировать задачу Коши для абсолютной погрешности решения ∆y(x) по отношению к ∆y0 - абсолютной погрешности величины начального условия y0. Считать, что начальное значение ∆y0 равно 5% от y0. Найти точное решение этой задачи и решение методом Рунге-Кутта второго порядка точности: y'=yx+xx, x∈x0=1;b=2, yx0=1

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Метод Эйлера:
xk+1=xk+h,
yk+1=yk+h f(xk,yk).
Вычисления представлены в таблицах:
С шагом h = 0,2:
xk
yk
1 1
1,2 1,4
1,4 1,89624
1,6 2,498432
1,8 3,215508
2 4,055777
С шагом h = 0,1:
xk
yk
1 1
1,1 1,2
1,2 1,42446
1,3 1,674618
1,4 1,951658
1,5 2,256712
1,6 2,590871
1,7 2,955187
1,8 3,350674
1,9 3,778318
2 4,239074
Найдем точное решение:
y'=yx+xx
dydx-yx=xx
dydx/x-yx2=x
ddxyx=x
ddxyxdx=xdx
yx=23x3/2+C
y=x23x3/2+C
Из начального условия y1=1:
1=23+C
C=13
y=x23x3/2+13
Оценим погрешности решения методом Эйлера с помощью правила Рунге:
R=maxiyih-y2ih22p-1
Для метода Эйлера p=1
R=maxiyih-y2ih2=max-0,02446;-0,05542;-0,092439;-0,135166;-0,1833=0,1833
Графики полученных решений:
Сформулируем задачу Коши для абсолютной погрешности решения ∆y(x) по отношению к ∆y0 - абсолютной погрешности величины начального условия y0

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Численно решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

Условие

Решение

Для нахождения производных используется таблица производных

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Вычислить криволинейный интеграл. Сделать чертеж