Бросают два игральных тетраэдра, на гранях, которых цифры от 1 до 4. Случайные величины: X — сумма выпавших цифр, Y — модуль разности. Составить совместный ряд распределения, построить таблицу совместного распределения, найти частные распределения для X и Y и вычислить для каждого из них математическое ожидание и дисперсию, найти коэффициент корреляции, определить, зависимы или независимы случайные величины X и Y.
Решение
4∙4=16 – число элементарных событий.
Пространство элементарных событий
Ω=1,1,2,1,3,1,4,1,1,2,2,2,3,2,4,2,1,3,2,3,3,3,4,3,1,4,2,4,3,4,(4,4)
Случайная величина X задана на множестве Ω и принимает значения 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Соответственно, случайная величина Y принимает значения 0, 1, 2, 3.
Совместное ряд распределения (таблица совместного распределения) имеет вид
Y
X
0 1 2 3
2 116
0 0 0
3 0 216
0 0
4 116
0 216
0
5 0 216
0 216
6 116
0 216
0
7 0 216
0 0
8 116
0 0 0
В первом столбце таблицы указаны возможные значения случайной величины X. Соответственно, в первой строке располагаются возможные значения Y.
В каждой клетке таблицы, стоящей на пересечении i-го значения случайной величины X и j-того значения случайной величины Y, указаны вероятности pijсовместного появления событий X=xi.Y=yj.
Контроль: pij=116+216+116+216+216+216+116+216+216+116=1.
Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений Y
PY=0=116+116+116+116=416=14=0,25
PY=1=216+216+216=38=0,375
PY=2=216+216=14=0,25
PY=3=216=18=0,125
Частное распределение Y
Y
0 1 2 3
pj
0,25 0,375 0,25 0,125
Контроль: pj=0,25+0,375+0,24+0,125=1
Математическое ожидание Y
MY=yjpj=0∙0,25+1∙0,375+2∙0,25+3∙0,125=0+0.375+0.5+0.375=1,25
Дисперсия Y
DY=MY2-MY2=yj2pj-MY2=02∙0,25+12∙0,375+22∙0,25+32∙0,125-1,252=0+0,375+1+1,125-1,5625=2,5-1,5625=0,9375
Среднее квадратическое отклонение
σy=DY=0,9375≈0,9682
Сложив вероятности «по строкам», получим вероятности возможных значений X
PX=2=116=0,0625
PX=3=216=18=0,125
PX=4=116+216=316=0,1875
PX=5=216+216=416=14=0,25
PX=6=116+216=316=0,1875
PX=7=216=18=0,125
PX=8=116=0,0625
Частное распределение X
X
2 3 4 5 6 7 8
pi
0,0625 0,125 0,1875 0,25 0,1875 0,125 0,0625
Контроль: pi=0,0625+0,125+0,1875+0,25+0,1875+0,125+0,0625=1
Математическое ожидание X
MX=xipi=2∙0,0625+3∙0,125+4∙0,1875+5∙0,25+6∙0,1875+7∙0,125+8∙0,0625=0,125+0,375+0,75+1,25+1,125+0,875+0,5=5
Дисперсия X
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=22∙0,0625+32∙0,125+42∙0,1875+52∙0,25+62∙0,1875+72∙0,125+82∙0,0625-52=0,25+1,125+3+6,25+6,75+6,125+4-25=27,5-25=2,5
Среднее квадратическое отклонение
σx=DX=2,5≈1,5811
Ковариация
Kxy=MXY-MXMY=2∙0∙116+3∙1∙216+4∙0∙116+4∙2∙216+5∙1∙216+5∙3∙216+6∙0∙116+6∙2∙216+7∙1∙216+8∙0∙116-5∙1,25=0,375+1+0,625+1,875+1,5+0,875-6,25=6,25-6,25=0
Коэффициент корреляции
rxy=Kxyσxσy=01,5811∙0,9682=0
Так как Px,y≠PxPy, например PX=2, Y=0=0,0625≠0,0625∙0,25=0,015625=PX=2∙PY=0, то можно сделать вывод, что случайные величины X и Y являются зависимыми.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
