Анализируется объем Y сбережений домохозяйства за 10 лет. Предполагается, что его размер yi в текущем году i зависит от величины yi-1 располагаемого дохода X1 в предыдущем году и от величины X2i реальной процентной ставки X2 в рассматриваемом году. Статистические данные представлены в таблице:
Год 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
X1, тыс. у.е. 100 110 140 150 160 160 180 200 230 250 260
X2, % 2 2 3 2 3 4 4 3 4 5 5
Y, тыс. у.е. 20 25 30 30 35 38 40 38 44 50 55
Необходимо:
а)по МНК оценить коэффициенты линейной регрессии;
б)оценить статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессии b0, b1, b2;
в)построить 95%-е доверительные интервалы для найденных коэффициентов;
г)вычислить коэффициент детерминации R2и оценить его статистическую значимость при α = 0,05;
д)определить, какой процент разброса зависимой переменной объясняется данной регрессией;
е)сравнить коэффициент детерминации R2 со скорректированным коэффициентом детерминации R2;
ж)вычислить статистику DW Дарбина–Уотсона и оценить наличие автокорреляции;
з)сделать выводы по качеству построенной модели;
и) определить, увеличивается или уменьшается объем сбережений с ростом процентной ставки; будет ли ответ статистически обоснованным;
к) спрогнозировать средний объем сбережений в 1991 году, если предполагаемый доход составит 270 тыс. у.е., а процентная ставка будет равна 5,5.
Решение
А) по МНК оценим коэффициенты линейной регрессии:
Для наглядности изложения приведем таблицы промежуточных вычислений:
Год X1 X2 Y X12 X22 X1 X2 X1 Y X2 Y
2000 100 2 20 10000 4 200 2000 40
2001 110 2 25 12100 4 220 2750 50
2002 140 3 30 19600 9 420 4200 90
2003 150 2 30 22500 4 300 4500 60
2004 160 3 35 25600 9 480 5600 105
2005 160 4 38 25600 16 640 6080 152
2006 180 4 40 32400 16 720 7200 160
2007 200 3 38 40000 9 600 7600 114
2008 230 4 44 52900 16 920 10120 176
2009 250 5 50 62500 25 1250 12500 250
2010 260 5 55 67600 25 1300 14300 275
Сумма 1940 37 405 370800 137 7050 76850 1472
Среднее 176,36 3,363 36,82 33709,1 12,4545 640,91 6986,36 133,82
∑(xi1 -x1)2 ∑(xi2 - x2)2 ∑(yi-ӯ)2 ∑(xi1 - x1)(xi2 - x2) ∑(xi1 - x1)(yi- ӯ) ∑(xi2 - x2)( yi-ӯ)
28654,5 12,55 1087,64 524,55 5422,73 109,73
Расчет коэффициентов проводится по формулам:
b0 =2,96; b1 =0,12; b2 =3,55.
Таким образом, эмпирическое уравнение регрессии имеет вид:
y= 2,96 + 0,12·х1 + 3,55·х2
Найденное уравнение позволяет рассчитать модельные значения ŷi зависимой переменной Y и вычислить отклонения еi реальных значений от модельных:
Год Y Ŷ ei ei2 ei – ei-1 (ei – ei-1)2
2000 20 22,4885 -2,4885 6,19273
2001 25 23,7304 1,26959 1,61186 -3,7581 14,12340173
2002 30 31,0099 -1,0099 1,01993 2,27951 5,196158827
2003 30 28,698 1,30204 1,6953 -2,312 5,345132665
2004 35 33,4937 1,50631 2,26896 -0,2043 0,04172567
2005 38 37,0475 0,95246 0,90719 0,55384 0,306741888
2006 40 39,5313 0,46869 0,21967 0,48378 0,234040266
2007 38 38,4612 -0,4612 0,21275 0,92993 0,864777702
2008 44 45,7408 -1,7408 3,03023 1,27951 1,637141904
2009 50 51,7784 -1,7784 3,16262 0,03762 0,001415258
2010 55 53,0203 1,97973 3,91935 -3,7581 14,12340173
Сумма 405 405 ≈ 0 24,2406 - 41,87393765
Среднее 36,82 36,82
- - -
б)оценим статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессии b0, b1, b2:
Проанализируем статистическую значимость коэффициентов регрессии, предварительно рассчитав их стандартные ошибки
. Дисперсия регрессии вычисляется по формуле:
S2 = 3,03
S =1,74.
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
;
;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
;
;
.
Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов регрессии по формулам:
Фактические значения t – критерия Стьюдента:
и
Табличное значение критерия при уровне значимости ичисле степеней свободы составит .Таким образом, признается статистическая значимость параметров и ,т.к. и .
в)построим 95%-е доверительные интервалы для найденных коэффициентов:
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
;
.
Доверительные интервалы
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.
г)вычислим коэффициент детерминации R2 и оценить его статистическую значимость при α = 0,05:
Коэффициент детерминации определяется по формуле:
Вычислим:
Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:
.
В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:
.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
