По условию нижеприведенных задач необходимо:
1) построить поле корреляции результативного и факторного признаков, сделать вывод о форме связи между ними;
2) рассчитать линейный коэффициент корреляции и пояснить его смысл;
3) записать уравнение регрессии в общем виде, определить его параметры и дать интерпретацию коэффициента регрессии;
4) рассчитать теоретические значения регрессанта;
5) рассчитать коэффициент детерминации и дать его интерпретацию;
6) с вероятностью 0,95 оценить статистическую значимость коэффициента регрессии и уравнения регрессии в целом (с помощью F-критерия и t-статистики). Сделать выводы;
7) рассчитать прогнозное значение Y* для заданного X*;
8) построить 95% интервал для прогноза.
Иностранную компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей (тыс. км) и стоимостью ежемесячного обслуживания (у.е.):
№ п.п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Пробег
автомобиля 8 11 31 15 27 30 13 17 21 23
Стоимость
обслуживания 15 17 26 20 24 25 18 21 24 20
К заданию 7) X*=25.
Решение
1). Для условия задачи поле корреляции выглядит следующим образом:
Между стоимостью обслуживания (Y) и пробегом автомобиля (X) визуально определяется прямая линейная зависимость.
2) рассчитать линейный коэффициент корреляции и пояснить его смысл:
Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:
,
где ;
Вычислим :
Значения линейного коэффициента корреляции принадлежит промежутку [-1;1]. Связь между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
менее 0,1 отсутствует линейная связь0,1 < rxy < 0,3: слабая; 0,3 < rxy < 0,5: умеренная; 0,5 < rxy < 0,7: заметная; 0,7 < rxy < 0,9: высокая; 0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
Для нашей задачи r = 0,935, что подтверждает вывод, сделанный ранее, что связь между признаками прямая, а также указывает на весьма высокую взаимосвязь между стоимостью ежемесячного обслуживания и пробегом автомобилей. Положительная величина свидетельствует о прямой связи между изучаемыми признаками.
3) записать уравнение регрессии в общем виде, определить его параметры и дать интерпретацию коэффициента регрессии
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Вычисления удобно организовать в таблицу
. При этом сначала рассчитываются средние значения и по данным столбцов 2 и 3. Затем в столбцах 4 и 5 рассчитываются , , i = 1, .... n, и в столбце 8 их произведение.
По формуле получим:
β = x-xy-yx-x2=250586,4 = 0,426.
По формуле получим: α =21 – 0,426 ·19,6= 12,644.
Оцененное уравнение регрессии запишется в виде Ŷ= 12,644 + 0,426∙X.
Интерпретация коэффициента регрессии. С увеличением пробега автомобиля на 1 тыс. км. стоимость обслуживания возрастает на 0,43 у.е.
4) рассчитаем теоретические значения регрессанта:
Ŷ1= 12,644 + 0,426∙8 = 16,05;
Ŷ2= 12,644 + 0,426∙11 = 17,33;
Ŷ3= 12,644 + 0,426∙31 = 25,86;
Ŷ4= 12,644 + 0,426∙15 = 19,04;
Ŷ5= 12,644 + 0,426∙27 = 24,15;
Ŷ6= 12,644 + 0,426∙30 = 25,43;
Ŷ7= 12,644 + 0,426∙13 = 18,19;
Ŷ8= 12,644 + 0,426∙17 = 19,89;
Ŷ9= 12,644 + 0,426∙21 = 21,60;
Ŷ10= 12,644 + 0,426∙23 = 22,45.
1 8 15 -11,6 -6 134,56 36 69,6 16,05 -1,05 1,11
2 11 17 -8,6 -4 73,96 16 34,4 17,33 -0,33 0,11
3 31 26 11,4 5 129,96 25 57 25,86 0,14 0,02
4 15 20 -4,6 -1 21,16 1 4,6 19,04 0,96 0,92
5 27 24 7,4 3 54,76 9 22,2 24,15 -0,15 0,02
6 30 25 10,4 4 108,16 16 41,6 25,43 -0,43 0,19
7 13 18 -6,6 -3 43,56 9 19,8 18,19 -0,19 0,03
8 17 21 -2,6 0 6,76 0 0 19,89 1,11 1,23
9 21 24 1,4 3 1,96 9 4,2 21,60 2,40 5,78
10 23 20 3,4 -1 11,56 1 -3,4 22,45 -2,45 6,00
Итого 196 210 0 0,00 586,4 122 250 210,00 0,00 15,42
Среднее значение 19,6 21
5) рассчитать коэффициент детерминации и дать его интерпретацию:
Коэффициент детерминации определяется по формуле:
Вычислим:
Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 87,4% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора и на 12,6% — другими факторами, не включенными в модель.
6) с вероятностью 0,95 оценить статистическую значимость коэффициента регрессии и уравнения регрессии в целом (с помощью F-критерия и t-статистики)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
