Анализ линейной электрической цепи постоянного тока

Обозначаем на схеме условно-положительные направления токов в ветвях и узлы (рис.1.2). Вольтметр при расчете можно убрать ввиду его бесконечно большого сопротивления, т.к. в этом случае он не оказывает влияние на расчеты.
Рис.1.2. Расчетная схема
В получившейся схеме имеем n=4 узлов. Обозначим на схеме узлы электрической цепи 1, 2, 3, 4 и независимые контуры с их направлениями обхода, например, по часовой стрелке (рис. 1.2). Тогда при решении законами Кирхгофа по 1-му закону должно быть составлено n-1=4-1=3 уравнений. Также в схеме N=6 ветвей, поэтому по 2-му закону Кирхгофа при решении законами Кирхгофа должно быть составлено N-(n-1) =6-(4-1) =3 уравнений. Соответственно, всего должно быть 6 уравнений с шестью неизвестными токами. Таким образом, при расчете данной цепи по данному методу придется решать систему, состоящую из 6-ти уравнений.
-I3+I4+I5=0-для узла 1-I1-I2+I3=0-для узла 2I2-I5-I6=0-для узла 3-I4R4-I6R6+I5R5=0-для контура II1R1+I4R4+I3R3=E1+E3-для контура II-I1R1+I2R2+I6R6=E2-E1-для контура III
После подстановки значений получим
-I3+I4+I5=0--I1-I2+I3=0I2-I5-I6=0-4I4-2I6+2I5=08I1+4I4+1I3=57-8I1+3I2+2I6=-27
2 . Решаем методом контурных токов
Обозначаем на схеме контурные токи (I11, I22, I33) в контурах (рис.1.2), направления обхода контуров (например, по часовой стрелке) и составляем уравнения для имеющихся в схеме трех независимых контуров
Система уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контурных токов, для рассматриваемой цепи имеет вид:
I11R4+R5+R6-I22R4-I33R6=0-I11R4+I22R1+R3+R4-I33R1=E1+E3-I11R6-I22R1+I33R1+R2+R6=E2-E1
После подстановки исходных данных имеем
I114+2+2-4I22-2I33=0-4I11+I228+1+4-8I33=57-2I11-8I22+I338+3+2=-27
Упрощаем
8I11-4I22-2I33=0-4I11+13I22-8I33=57-2I11-8I22+13I33=-27
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
Где из составленной выше системы уравнений собственные контурные сопротивления, определяемые суммой сопротивлений приемников в каждом контуре:
R11=R4+R5+R6=4 Ом; R22=R1+R3+R4=13 Ом;R33=R1+R2+R6=13 Ом
Смежные контурные сопротивления, определяемые сопротивлениями приемников, содержащихся в ветви, смежной для двух контуров, составляют:
R12=R21=-R4=-4 Ом;
R13=R31=-R6=-2 Ом;
R23=R32=-R1=-8 Ом
Находим
∆=8-4-2-413-8-2-813=8∙13∙13+-4∙-8∙-2+-4∙-8∙-2--2∙13∙-2--4∙-4∙13--8∙-8∙8=1352-64-64-52-208-512=452
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=0-4-25713-8-27-813=2310
∆2=80-2-457-8-2-2713=3756
∆3=8-40-41357-2-8-27=1728
Находим контурные токи
I11=∆1∆=2310452=5,111 А
I22=∆2∆=3756452=8,310 А
I33=∆3∆=1728452=3,823 А
Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I1=I22-I33=8,310-3,823=4,487 A
I2=I33=3,823 A
I3=I22=8,310 A
I4=I22-I11=8,310-5,111=3,199 A
I5=I11=5,111 A
I6=I33-I11=3,823-5,111=-1,288 A
Отрицательное значение тока I6 указывает на то, что в действительности он направлен противоположно его обозначенному и принятому направлению на рис.1.2.
Составим баланс мощностей
суммарная мощность источников равна
Pист=E1∙I1+E2∙I2+E3∙I3=54∙4,487+27∙3,823+3∙8,310=370,449 Вт
суммарная мощность приемников равна
Pпр=I12∙R1+I22∙R2+I32∙R3+I42∙R4+I52∙R5+I62∙R6
Pпр=4,4872∙8+3,8232∙3+8,3102∙1+3,1992∙4+5,1112∙2+-1,2882∙2=370,464 Вт
Получили, что
Pист≈Pпр, т.е.370,449 Вт≈370,464 Вт
С незначительной погрешностью от округлений промежуточных вычислений баланс выполняется.
Находим показание вольтметра