Аналитически отыскать экстремум функции двух переменных (с использованием необходимых и достаточных условий безусловного экстремума)

А) аналитически отыскать экстремум функции двух переменных (с использованием необходимых и достаточных условий безусловного экстремума);
Запишем градиент функции:
∇fX=6x-428y+18
Запишем необходимые условия экстремума и вычислим координаты стационарных точек:
6x-42=08y+18=0
6x=428y=-18
x=7y=-2,25
Получена стационарная точка функции X*=7-2,25
Составим матрицу Гессе:
∂2f∂x2=6;
∂2f∂x∂y=0;
∂2f∂y∂x=0;
∂2f∂y2=8;
H=6008
Вычислим матрицу Гессе в полученной стационарной точке:
HX*=6008
Определим характер полученной стационарной точки, используя критерий Сильвестра:
∆1=6>0
∆2=6*8-0=48>0
Так как все диагональные миноры матриц положительны, матрица Гессе является положительно определенной HX*>0, значит точка X*=7-2,25 является точкой локального минимума функции.
Ответ: Функция f(X) имеет локальный безусловный минимум в точке с координатами X*=7-2,25.
б) Из начальной точки X0=(0,0)Т сделать в направлении экстремума три итерации методом градиентного спуска;
f(x)=3x2+4y2-42x+18y+25→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=6x-428y+18
Итерация 0:
X0=00
fX0=3*0+4*0-42*0+18*0+25=25
∇fX0=6*0-428*0+18=-4218
∇fX0=-422+102=45,69464
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-t0∇fX0
Примем шаг t0=0,1
X1=00-0,1*-4218=4,2-1,8
fX1=3*4,22+4*(-1,8)2-42*4,2+18*-1,8+25=-117,92
fX1<fX0, значит шаг выбран удачно
∇fX1=6*4,2-428*(-1,8)+18=-16,83,6
∇fX1=-16,82+3,62=17,18139
Итерация 2:
Вычислим точку X2 по формуле:
X2=X1-t1∇fX1
Примем шаг t1=0,1
X2=4,2-1,8-0,1*-16,83,6=5,88-2,16
fX2=3*5,882+4*(-2,16)2-42*5,88+18*-2,16+25=-138,4544
fX2<fX1, значит шаг выбран удачно
∇fX2=6*5,88-428*(-2,16)+18=-6,720,72
∇fX2=-6,722+0,722=6,75846
Итерация 3:
Вычислим точку X3 по формуле:
X3=X2-t2∇fX2
Примем шаг t2=0,1
X3=5,88-2,16-0,1*-6,720,72=6,552-2,232
fX3=3*6,5522+4*(-2,232)2-42*6,552+18*-2,232+25=-141,647
fX3<fX2, значит шаг выбран удачно
∇fX3=6*6,552-428*(-2,232)+18=-2,6880,144
∇fX3=-2,6882+0,1442=2,69185
Приведенные вычисления представим в виде таблицы:
№ x y t ∇x
∇y
∇fX
f
0 0 0 - -42 18 45,69464 25
1 4,2 -1,8 0,1 -16,8 3,6 17,18139 -117,92
2 5,88 -2,16 0,1 -6,72 0,72 6,75846 -138,454
3 6,552 -2,232 0,1 -2,688 0,144 2,69185 -141,647
в) Из начальной точки X0=(0,0)Т сделать в направлении экстремума две итерации методом наискорейшего градиентного спуска;
f(X)=3x2+4y2-42x+18y+25→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=6x-428y+18
Итерация 0:
X0=00
fX0=3*0+4*0-42*0+18*0+25=25
∇fX0=6*0-428*0+18=-4218
∇fX0=-422+102=45,69464
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-t0∇fX0
X1=00-t0*-4218=4,2t0-1,8t0
Вычислим шаг t0:
f(X1)=3*(4,2t0)2+4*(-1,8t0)2-42*4,2t0+18*-1,8t0+25=65,88t02-208,8t0+25
dfX1dt0=131,76t0-208,8>0
t0=1,58470
d2fX1dt02=131,76>0
при t0=1,5847 функция fX1 принимает минимальное значение
X1=4,2*1,58470-1,8*1,58470=6,6557-2,8525
fX1=3*6,65572+4*(-2,8525)2-42*6,6557+18*-2,8525+25=-140,442
∇fX1=6*6,6557-428*-2,8525+18=-2,0658-4,82
∇fX1=-2,06582+(-4,82)2=5,244038
Итерация 2:
Вычислим точку X2 по формуле:
X2=X1-t1∇fX1
X2=6,6557-2,8525-t1*-2,0658-4,82=6,6557+2,0658t1-2,8525+4,82t1
Вычислим шаг t1:
f(X2)=3*6,6557+2,0658t12+4*-2,8525+4,82t12-42*6,6557+2,0658t1+18*-2,8525+4,82t1+25=132,89503+82,49607t1+12,80259t12+32,54703-109,992t1+92,9296t12-279,539-86,7636t1-51,345+86,76t1+25=105,73219t12-27,49993t1-140,44235
dfX2dt1=105,73219t0-27,49993>0
t1=0,26009
d2fX2dt12=105,73219>0
при t1=0,26009 функция fX2 принимает минимальное значение
X2=6,6557+2,0658*0,26009-2,8525+4,82*0,26009=7,191299-1,59887
fX2=3*7,1912992+4*(-1,59887)2-42*7,191299+18*-1,59887+25=-140,44236
∇fX2=6*7,191299-428*(-1,59887)+18=1,157965,20907
∇fX2=1,157962+5,209072=5,33623
Приведенные вычисления представим в виде таблицы:
№ x y t ∇x
∇y
∇fX
f
0 0 0 - -42 18 45,69464 25
1 6,6557 -2,8525 1,58470 -2,0658 -4,82 5,244038 -140,44235
2 7,19299 -1,59887 0,26009 1,157964 5,20907 5,336225 -140,44236
г) Из начальной точки X0=(0,0)Т сделать в направлении экстремума две итерации методом Гаусса-Зейделя;
f(X)=3x2+4y2-42x+18y+25→extr
Запишем градиент функции:
∇fX=6x-428y+18
Итерация 0:
X0=00
fX0=3*0+4*0-42*0+18*0+25=25
∇fX0=6*0-428*0+18=-4218
∇fX0=-422+102=45,69464
Итерация 1:
Вычислим точку X1 по формуле:
X1=X0-t0∇fX0пр.на x1
X1=00-t0*-420=42t00
Вычислим шаг t0:
f(X1)=3*(42t0)2+4*02-42*42t0+18*0+25=5292t02-1764t0+25
dfX1dt0=10584t0-1764>0
t0=0,166667
d2fX1dt02=10584>0
при t0=0,16667 функция fX1 принимает минимальное значение
X1=42*0,166670=70
fX1=3*72+4*02-42*7+18*0+25=-122
∇fX1=6*7-428*0+18=018
∇fX1=02+182=18
Итерация 2:
Вычислим точку X2 по формуле:
X2=X1-t1∇fX1пр.на x2
X2=70-t1*018=7-18t1
Вычислим шаг t0:
f(X2)=3*72+4*(-18t1)2-42*7+18*-18t1+25=1296t12-324t0-122
dfX1dt1=2592t1-324>0
t1=0,125
d2fX2dt12=2592>0
при t1=0,125 функция fX2 принимает минимальное значение
X2=7-18*0,125=7-2,25
fX2=3*72+4*(-2,25)2-42*7+18*(-2,25)+25=-142,25
∇fX2=6*7-428*(-2,25)+18=00
∇fX2=02+02=0
Так как ∇fX2=0, то X2 - стационарная точка функции