А) Аналитически отыскать безусловный экстремум функции, используя аппарат необходимых и достаточных условий.
б) Из начальной точки с координатами (0, 0) сделать в направлении экстремума 3 итерации методом градиентного спуска (точность счета - 5 знаков после запятой).
в) Из начальной точки с координатами (0, 0) сделать в направлении экстремума 1 итерацию методом наискорейшего спуска (точность счета - 5 знаков после запятой).
г) Из начальной точки с координатами (0, 0) сделать в направлении экстремума 2 итерации методом сопряженных градиентов (точность счета - 5 знаков после запятой).
д) Из начальной точки с координатами (0, 0) сделать в направлении экстремума 1 итерацию методом Ньютона (точность счета - 5 знаков после запятой).
FX=-2y2-12z2+48y+16z-13→extr
Решение
Запишем градиент функции:
∇FX=-4y+48-24z+16
Запишем необходимые условия экстремума и вычислим координаты стационарных точек:
-4y+48=0-24z+16=0-4y=-48-24z=-16y=12z=23
Получена стационарная точка функции X*12;23T.
Составим матрицу Гессе:
∂2F∂y2=-4; ∂2F∂z2=-24; ∂2F∂y∂z=0; ∂2F∂z∂y=0 HX=-400-24
Вычислим матрицу Гессе в полученной стационарной точке: HX*=-400-24
Определим характер полученной стационарной точки, используя критерий Сильвестра:
∆1=-4<0
∆2=-4∙-24-0∙0=96>0
Следовательно, точка X*12;23T является точкой локального максимума функции.
Ответ: функции FX=-2y2-12z2+48y+16z-13 имеет локальный безусловный максимум в точке с координатами X*12;23.
1б)
Найдём градиент функции:
∇FX=-4y+48-24z+16
Итерация 0.
X0=00; FX0=-13;
∇FX0=-4∙0+48-24∙0+16=4816
∇FX0=482+162=2304+256=2560≈50,5964
Итерация 1.
Вычислим точку X1 по формуле: X1=X0-t0∇FX0. Зададим шаг t0=0,1
X1=00-0,1∙4816=-4,8-1,6
FX1=-2∙-4,82-12∙-1,62+48∙-4,8+16∙-1,6-13=-356,04
FX1<FX0, следовательно, шаг выбран удачно.
∇FX1=-4∙-4,8+48-24∙-1,6+16=67,254,4
∇FX1=67,22+54,42=7475,2≈86,4592
Итерация 2.
Вычислим точку X2 по формуле: X2=X1-t1∇FX1
. Зададим шаг t1=0,1
X2=-4,8-1,6-0,1∙67,254,4=-4,8-1,6+-6,72-5,44=-11,52-7,04
FX2=-2∙-11,522-12∙-7,042+48∙-11,52+16∙-7,04-13=-1538,76
FX2<FX1, следовательно, шаг выбран удачно.
∇FX2=-4∙-11,52+48-24∙-7,04+16=94,08184,96
∇FX2=94,082+184,962=43061,248≈207,512
Итерация 3.
Вычислим точку X3 по формуле: X3=X2-t2∇FX2. Зададим шаг t2=0,1
X3=-11,52-7,04-0,1∙94,08184,96=-11,52-7,04+-9,408-18,496=-20,928-25,536
FX3=-2∙-20,9282-12∙-25,5362+48∙-20,928+
+16∙-25,536-13=-10127,1292
FX3<FX2, следовательно, шаг выбран удачно.
∇FX3=-4∙-20,928+48-24∙-25,536+16=131,712628,864
∇FX3=131,7122+628,8642=412817,981≈642,5091
Приведенные вычисления представим в виде таблицы
№ y
z
t
∇y
∇z
∇FX
F
0 0
0
-
48
16
50,5964
-13
1 -4,8
-1,6
0,1
67,2
54,4
86,4592
-356,04
2 -11,52
-7,04
0,1
94,08
184,96
207,512
-1538,76
3 -20,928
-25,536
0,1
131,712
628,864
642,5091
-10127,1292
1в)
Итерация 0. Итерация 0 совпадает с 0-й итерацией метода градиентного спуска.
Итерация 1.
Вычислим точку X1 по формуле: X1=X0-t0∇FX0.
X1=00-t0∙4816=-48t0-16t0
Вычислим шаг t0:
FX1=-2∙-48t02-12∙-16t02+48∙-48t0+16∙-16t0-13=
=-4608t02-3072t02-2304t0-256t0-13=-7680t02-2560t0-13
dFX1dt0=-15360t0-2560=0t0=2560-15360=-0,167
d2FX1dt02=-15360<0 при t0=-0,167 функция FX1 принимает максимальное значение
X1=-48∙-0,167-16∙-0,167=82,67
FX1=-7680∙-0,1672-2560∙-0,167-13=200,333
∇FX1=-4∙8+48-24∙2,67+16=16-48
∇FX1=162+-482=256+2304≈50,59644
Приведенные вычисления представим в виде таблицы
№ y
z
t
∇y
∇z
∇FX
F
0 0
0
-
48
16
50,5964
-13
1 8
2,67
-0,167
16
-48
50,5964
200,333
1г)
Итерация 0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
