А) Аналитически отыскать безусловный экстремум функции, используя аппарат необходимых и достаточных условий.
б) Из начальной точки с координатами (0, 0) сделать в направлении экстремума 3 итерации методом градиентного спуска (точность счета - 5 знаков после запятой).
в) Из начальной точки с координатами (0, 0) сделать в направлении экстремума 1 итерацию методом наискорейшего спуска (точность счета - 5 знаков после запятой).
г) Из начальной точки с координатами (0, 0) сделать в направлении экстремума 2 итерации методом сопряженных градиентов (точность счета - 5 знаков после запятой).
д) Из начальной точки с координатами (0, 0) сделать в направлении экстремума 1 итерацию методом Ньютона (точность счета - 5 знаков после запятой).
FX=-4x2-y2+16x+5y-24→extr
Решение
Запишем градиент функции:
∇FX=-8x+16-2y+5
Запишем необходимые условия экстремума и вычислим координаты стационарных точек:
-8x+16=0-2y+5=0x=2y=2,5
Получена стационарная точка функции X*2;2,5T.
Составим матрицу Гессе:
∂2F∂x2=-8; ∂2F∂y2=-2; ∂2F∂x∂y=0; ∂2F∂y∂x=0 HX=-800-2
Вычислим матрицу Гессе в полученной стационарной точке: HX*=-800-2
Определим характер полученной стационарной точки, используя критерий Сильвестра:
∆1=-8<0
∆2=-8∙-2-0∙0=16-0=16>0
Следовательно, точка X*2;2,5T является точкой локального максимума функции.
Ответ: функции FX=-4x2-y2+16x+5y-24 имеет локальный безусловный максимум в точке с координатами X*2;2,5.
1б)
Так как при аналитическом решении задачи найден локальный максимум функций, то для численного решения задачи умножить исходную функцию на (-1) и перейти к задаче поиска минимума, при этом нужно пересчитаем градиент и матрицу Гессе для новой функции. В результирующих таблицах значение функции умножим на (-1).
Итак, приступим
FX=4x2+y2-16x-5y+24
Найдём градиент функции и запишем матрицу Гессе:
∇FX=8x-162y-5; HX*=8002
Итерация 0.
X0=00; FX0=24;
∇FX0=8∙0-162∙0-5=-16-5
∇FX0=162+52=256+25=281≈16,7631
Итерация 1.
Вычислим точку X1 по формуле: X1=X0-t0∇FX0
. Зададим шаг t0=0,1
X1=00-0,1∙-16-5=1,60,5
FX1=4∙1,62+0,52-16∙1,6-5∙0,5+24=6,39
FX1<FX0, следовательно, шаг выбран удачно.
∇FX1=8∙1,6-162∙0,5-5=-3,2-4
∇FX1=3,22+42=26,24≈5,1225
Итерация 2.
Вычислим точку X2 по формуле: X2=X1-t1∇FX1. Зададим шаг t1=0,1
X2=1,60,5-0,1∙-3,2-4=1,60,5+0,320,4=1,920,9
FX2=4∙1,922+0,92-16∙1,92-5∙0,9+24=4,3356
FX2<FX1, следовательно, шаг выбран удачно.
∇FX2=8∙1,92-162∙0,9-5=-0,64-3,2
∇FX2=0,642+3,22=10,64968≈3,263372
Итерация 3.
Вычислим точку X3 по формуле: X3=X2-t2∇FX2. Зададим шаг t2=0,1
X3=1,920,9-0,1∙-0,64-3,2=1,920,9+0,0640,32=1,9841,22
FX3=4∙1,9842+1,222-16∙1,984-5∙1,22+24=3,3894
FX3<FX2, следовательно, шаг выбран удачно.
∇FX3=8∙1,984-162∙1,22-5=-0,128-2,56
∇FX3=0,1282+2,562=6,569984≈2,5632
Приведенные вычисления представим в виде таблицы
№ x
y
t
∇x
∇y
∇FX
F
0 0
0
-
-16 -5 16,7631
24
1 1,6
0,5
0,1 -3,2
-4
5,1225
6,39
2 1,92
0,9
0,1 -0,64
-3,2
3,263372
4,3356
3 1,984
1,22
0,1 -0,128
-2,56
2,5632
3,3894
1в)
Итерация 0. Итерация 0 совпадает с 0-й итерацией метода градиентного спуска.
Итерация 1.
Вычислим точку X1 по формуле: X1=X0-t0∇FX0.
X1=00-t0∙-16-5=16t05t0
Вычислим шаг t0:
FX1=4∙16t02+5t02-16∙16t0-5∙5t0+24=1049t02-281t0+24
dFX1dt0=2098t0-281=0t0=2812098=0,1339
d2FX1dt02=2098>0 при t0=0,1339 функция FX1 принимает минимальное значение
X1=16∙0,13395∙0,1339=2,140,67
FX1=1049∙0,13392-281∙0,1339+24=5,18184
∇FX1=8∙2,14-162∙0,67-5=1,12-3,66
∇FX1=1,122+-3,662≈3,8275
Приведенные вычисления представим в виде таблицы
№ x
y
t
∇x
∇y
∇FX
F
0 0
0
-
-16
-5
16,7631
24
1 2,14
0,67
0,1339
1,12
-3,66
3,8275
5,18184
1г)
Итерация 0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
