3 Найти распределение температуры в стержне длиной l с теплоизолированной боковой поверхностью

Согласно методу Фурье ищем решение задачи в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
Где X(x) – зависит только от x, а T(t) – только от t.
Подставляем в уравнение:
XxT't=α2X''xTt
T'tα2T(t)=X''xX(x)
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа:
T'tα2T(t)=X''xX(x)=λ=const
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T't=λα2
Граничные условия для u=X(x)T(t) дают: X'0Tt=0,X'lTt=0. Значит X'0=X'l=0. Т.е. нам требуется найти ненулевые решения уравнения
X''x-λXx=0; X'0=X'l=0
Уравнение – линейное уравнение с постоянными коэффициентами, его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассмотрим возможные случаи:
а) λ=0 Xx=c1x+c0
Условия X'0=X'l=0 дают решение x=c0.
б) λ>0 Xx=c1eλx+c2e-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X'0=X'l=0:
c1λ-c2λ=0c1λelλ-c2λe-lλ=0
Вычисляя определитель λelλ-e-lλ, получаем, что он равен нулю только при λ=0, а, значит, система имеет только тривиальное решение c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
в) λ<0 Xx=c1cos-λx+c2sin-λx.
Пробуем удовлетворить краевым условиям X'0=X'l=0:
-c1-λsin0+c2-λcos0=0-c1-λsinl-λ+c2-λcosl-λ=0
Получаем:
c2-λ=0c1-λsinl-λ=0
Тогда:
sinl-λ=0 l-λ=πn λ=-π2n2l2,n=1,2,…
Т.е . при λ<0 получили собственные функции вида:
X=cncosπnlx
Возвращаемся к уравнению
T't=λa2Tt
Для случая λ=0 получаем Tt=const.
При λ<0 его характеристическое уравнение (с учетом того, что λ=-π2n2l2):
k=-π2n2a2l2
Дает общее решение:
Tnt=ce-π2n2a2l2t
Получили, что функции:
u0x,t=C0
unx,t=XnxTt=Cncosπnlxe-π2n2a2l2t
являются частными решениями уравнения, в силу линейности и однородности которого сумма частных решений также удовлетворяет данному уравнению и граничным условиям:
ux,t=C0+n=1∞Cncosπnlxe-π2n2a2l2t
Согласно условию при t=0 имеем:
2x3-3lx2+xl2=C0+n=1∞Cncosπnlxe-π2n2a2l2t
Т.е. имеем разложение в ряд Фурье по косинусам φx=2x3-3lx2+xl2. Вычисляем коэффициенты разложения.
Отдельно находим коэффициент C0:
C0=2l0l2x3-3lx2+xl2dx=1lx42-lx3+x2l220l=0
Остальные коэффициенты:
Cn=2l0l2x3-3lx2+xl2cosπnlxdx=u=2x3-3lx2+xl2du=6x2-6lx+l2dxdv=cosπnlxdxv=lπnsinπnlx=
=22x3-3lx2+xl2πnsinπnlx0l=0, т.к