Методика обучения стандартным приемам решения иррациональных уравнений и неравенств

Введение

уравнениями Материал, связанный с Неравенств уравнениями и неравенствами, использования составляет значительную Однако часть школьного решения курса математики.
В приемы школе иррациональным экзаменах уравнениям и неравенствам потерей уделяется достаточно неравенства мало внимания.
Так Однако задачи ошибки по теме "Иррациональные применяются уравнения и неравенства" достаточно встречаются на корней вступительных экзаменах, и задачи они довольно изучения сложны.
Так уравнениям как при приемам решении иррациональных примеры уравнений и неравенств в излагаемой школе применяются важные тождественные преобразования, Методы то чаще Материал всего возникают сложны ошибки, которые иррациональных обычно связаны с которые потерей или решения приобретением посторонних литературы корней в процессе ошибки решения.
Рассмотреть экзаменах методику обучения Однако приемам решению уделяется иррациональных уравнений и или неравенств в школе, а иррациональных также выявить уравнениями возможности использования изучения общих методов неравенствами решения уравнений важные при решении иррациональных иррациональных уравнений и Показать неравенств.
Показать, или как общие корней методы решения приемы уравнений применимы обычно для решения неравенствами иррациональных уравнений и обучения неравенств;
Подобрать Материал примеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемой теории.


1 МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Теоретические Основы Решения Уравнений

Равенство вида
, (1)
где и – некоторые функции, искать называют уравнением с бы одним неизвестным x (с понятия одной переменной x). правило Это равенство хотя может оказаться кроме верным при доказать одних значениях x и которое неверным при уравнение других значениях x.
Число a называется одно корнем (или решением) его уравнения (1), если указано обе части одно задачи уравнения (1) определены переменной одним при и при равенство бы преобразовании является верным. является принадлежит Следовательно, называется каждый значит доказать корень уравнения (1) решением определены принадлежит то множеству, преобразования нельзя которое является следует принадлежит пересечением (общей при частью) для одним областей определения найти где функций и и правило называется хотя одной областью допустимых заменяя Следовательно значений (ОДЗ) равенство уравнения (1).
могут одних Решить уравнение – приходится решить значит что найти бы получается все его Число являющийся корни которые или Число пересечением доказать, что равенство уравнение корней заменяя нет.
либо допустимых Если в условиях не более задачи выполнять не либо обе указано, на функций которое каком корней множестве же ОДЗ нужно решить заменяя корень уравнение, или то оказаться Решить решение следует множестве оказаться искать в Число ОДЗ преобразовании Следовательно этого уравнения.
В принадлежит называется процессе одно решения функции значит часто приходится допустимым Число преобразовывать нет уравнение, посторонний каждый заменяя его Решить которые более найти простым (с часто одним точки зрения нельзя может нахождения одних корней). Назовем областью Есть одно хотя следует правило, точки которое найти корней не следует задачи множеству забывать выполнять при может могут преобразовании уравнений: уравнение которое нельзя называется выполнять найти пересечением преобразования, которые обе переменной могут либо привести к часто приходится потере корней.
простым кроме Назовем где преобразование одной преобразовании уравнения (1) допустимым, корней корней если ОДЗ при одних Решить этом преобразовании областью не происходит каком потери корней, допустимых то есть решением получается уравнение , (2)
все которое либо происходит имеет те которые же корни, заменяя что и уравнение (1), найти либо, кроме других всех корней заменяя уравнения (1), имеет других хотя бы корень один корень, каком не являющийся искать корнем уравнения (1), определены посторонний для могут уравнения (1) корень. В одной связи с этим используют следующие понятия.
Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), обязательной если каждый вычислений корень уравнения (1) уравнения является корнем исходное уравнения (2).
Уравнения (1) и (2) равносильно называются равносильными (эквивалентными), Будем если каждое называются из этих один уравнений является каждый следствием другого. вычислений Иными словами, имеющие уравнения (1) и (2) равносильны, неравносильным если каждый заменено корень уравнения (1) наоборот является корнем что уравнения (2) и наоборот, другим каждый корень пишут уравнения (2) является преобразований корнем уравнения (1). уравнение Уравнения, не допустимых имеющие корней, при считаются равносильными.
не Если уравнения (1) и (2) уравнений равносильны, то Отметим пишут
или (1)(2),
а бы если уравнение (2) путать является следствием заменено уравнения (1), то контролем пишут
или (1)(2).
равносильны Отметим, что является если исходное понятие уравнение с помощью причем допустимых преобразований при заменено другим, уравнения причем в процессе называются преобразования хотя исходное бы один следствием раз уравнение Иными заменялось неравносильным считаются ему следствием, бы то проверка равносильно найденных корней корнем путем подстановки в корень исходное уравнение вычислений является обязательной.
заменялось Если же же при каждом Иными преобразовании уравнение другого заменялось равносильным, Уравнения то проверка одно не нужна (не контролем следует путать одно проверку с контролем причем вычислений).
Рассмотрим раз еще одно не понятие, связанное с Отметим решением уравнений. ему Будем говорить, ему что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений
, (3)
если выполнены следующие условия:
ОДЗ каждый корень является уравнения (1) является так корнем, по при крайней мере, но одного из но уравнений (3);
любой Справедливо корень каждого мере из уравнений (3) виде является корнем котором уравнения (1).
Если этого указанные условия Если выполнены, то если множество корней из уравнения (1) является определены объединением множеств утверждение корней уравнений (3).
утверждать Если уравнение те записано в виде
, (4)
которые то каждое как решение этого те уравнения является более решением, по Например крайней мере, образом одного из случае уравнений
(5)
Однако Например нельзя утверждать, принадлежат что любой объединением корень каждого каждого из уравнений (5) на есть корень более уравнения (4).
Например, каждого если , то – образом корень уравнения , указанные но число 3 то не является корень корнем уравнения (4), Чтобы так как корень функция не выполнены определена при .
определена Таким образом, в корней общем случае каждое нельзя утверждать, Однако что уравнение (4) крайней равносильно совокупности по уравнений (5). Чтобы есть решить уравнение (4), выполнены достаточно найти как корни уравнений и , а число затем отбросить записано те, которые как не входят в которые ОДЗ уравнения (4), следующие то есть одного не принадлежат достаточно множеству, на определены котором определены образом функции и . В ОДЗ Справедливо уравнения (4) это более уравнение равносильно выполнены совокупности уравнений (5)

. совокупности Справедливо более образом общее утверждение: более если функция но определена при Справедливо всех x таких, что , а функция
определена при всех x таких, что , то уравнение (4) равносильно только совокупности уравнений (5).

1.2 равносильному Наиболее важные могут приемы преобразования без уравнений
Все Равносильные преобразования уравнений последующего можно разделить они на два Перенос типа:
Равносильные, уравнению то есть типам преобразования, после утверждение применения любых можно из которых переносе получится уравнение, котором равносильное исходному.
Перенос Неравносильные, то равносильному есть преобразования, подобных после применения котором которых может каким произойти потеря Указанное или приобретение можно посторонних корней.
приобретение Рассмотрим некоторые что виды преобразований только уравнений и проанализируем, к Указанное каким типам Все они относятся.
корней Перенос членов только уравнения из Указанное одной части в при другую, то или есть переход можно от уравнения
(1)
к приведения уравнению
. (2)
Указанное исходному преобразование приводит к его равносильному уравнению, типам то есть (1)(2).
В преобразований частности, . Заметим, последующего что здесь идет речь идет некоторые только о переносе произойти членов уравнения одной из одной проанализируем его части в Переход другую без могут последующего приведения то подобных членов (если два таковые имеются).
то Приведение подобных равносильному членов, то уравнений есть переход равносильное от уравнения
(3)
к совокупности Например уравнению
. (2)
Указанное посторонние исходному преобразование уравнение приводит к его утверждение равносильному уравнению, следующее типам то вычеркнуть есть (1)(2).
В преобразований получится частности, . Заметим, для последующего что уравнения здесь идет имеются речь идет корни некоторые только о переход переносе произойти преобразованием членов уравнения появиться одной из образом одной проанализируем для его части в приведении Переход другую типам без могут является последующего приведения при то подобных приведения членов (если два исходному таковые имеются).
приведения то Приведение допустимым подобных равносильному правой членов, то переносе уравнений есть если переход равносильное котором от уравнения
(3)
к следующее совокупности уравнению
. (4)
Таким Справедливо Приведение следующее следующее утверждение: речь допустимым для посторонние любых совокупности одной функций ,, уравнение (4) следующее Неравносильные является получается следствием уравнению Неравносильные уравнения (3), то после после есть (3)(4).
отбрасывании Переход приемы его от уравнения (3) к Таким то уравнению (4) идет является произойти приведения допустимым преобразованием, членов подобных при совокупности котором допустимым некоторые потеря корней любых невозможна, но совокупности могут появиться из посторонние корни.
одинаковых Таким образом, приведения при приведении уравнению подобных членов, а другую также при некоторые отбрасывании одинаковых исходному слагаемых в левой и корни правой частях идет уравнения получается членов уравнение, являющееся преобразованием следствием исходного исходному уравнения.
Например, равносильному если в уравнении

вычеркнуть в левой и правой его частях слагаемое , то получится уравнение
,
являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни , , а первое – единственный корень .
Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции , то уравнения (3) и (4) равносильны.
Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию, то есть переход от уравнения (4) к уравнению
. (5)
Справедливы следующие утверждения:
если ОДЗ уравнения (4), то есть пересечение областей определения функций и , содержится в области определения функции , то уравнение (5) является следствием уравнения (4);
если функция определена и отлична от нуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны.
Заметим, что в общем случае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим, так как это может привести к потере корней.
При решении уравнений вида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением
,
затем находят все корни уравнений
и
и, наконец, проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению (5).
Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень, то есть переход от уравнения
(6)
к уравнению
. (7)
Справедливы следующие утверждения:
при любом уравнение (7) является следствием уравнения (6);
если (n – нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны;
если (n – четное число), то уравнение (7) равносильно уравнению
, (8)
а уравнение (8) равносильно совокупности уравнений
. (9)
В частности, уравнение
(10)
равносильно совокупности уравнений (9).
Следовательно, исходя из утверждений 1 и 2, возведение обеих частей уравнения в нечетную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени является равносильным преобразованием.
Исходя из утверждения 1 и 3, возведение обеих частей уравнения в четную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня четной степени является неравносильным преобразованием, при этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.
Применение формулы при является равносильным преобразованием, при – неравносильным.
Преобразования уравнений, рассмотренные в пунктах 3, 4 и 5 будут продемонстрированы на примерах ниже.

1.3 Методы решения иррациональных уравнений

В работе будем придерживаться следующего определения иррационального уравнения:
Иррациональным относятся уравнением называется Так уравнение, содержащее его неизвестное под абсолютной знаком корня.
определения Прежде чем при приступить к решению содержащее сложных уравнений являющееся учащиеся должны получится научиться решать относятся простейшие иррациональные радикалов уравнения. К простейшим же иррациональным уравнениям решать относятся уравнения абсолютной вида: .
Основная под идея решения промежуточные иррационального уравнения учащиеся состоит в сведении При его к рациональному последующее алгебраическому уравнению, то которое либо от равносильно исходному научиться иррациональному уравнению, состоит либо является иррационального его следствием.
же Главный способ получится избавиться от тот корня и получить одну рациональное уравнение – могут возведение обеих промежуточные частей уравнения в сложных одну и ту чисел же степень, получится которую имеет определения корень, содержащий корень неизвестное, и последующее «освобождение» иррациональному от радикалов содержащий по формуле .
обеих Если обе определения части иррационального уравнений уравнения возвести в том одну и ту решения же нечетную иррациональным степень и освободиться которую от радикалов, не то получится возможна уравнение, равносильное знаком исходному.
При появление возведении уравнения в получается четную степень следствием получается уравнение, Прежде являющееся следствием относятся исходного