Анализ вида распределения случайной величины

Введение

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов, А.А. Марков, А.Н. Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.
Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.
В данной работе мы познакомимся с особенностями нормального распределения, критериями Пирсона и Колмогорова и анализом генеральной совокупности.
1 Особенности нормального распределения (распределение Гаусса-Лапласа)
Наиболее известным и часто применяемым в теории вероятностей законом является нормальный закон распределения или закон Гаусса.
Нормальное распределение, также именуемое распределением Гаусса, - распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение - отсюда и произошло одно из его названий.
Закон нормального распределения имеет следующую формулировку: «Если индивидуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие действия множества причин, то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной совокупности соответствует кривой нормального распределения».
Главная особенность нормального закона распределения заключается в том, что он является предельным законом для других законов распределения.
Будем говорить, что непрерывная случайная величина Х, принимающая действительные значения, подчиняется нормальному закону, если её плотность распределения (дифференциальная функция) имеет вид

. (1)

Нетрудно видеть, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: а > 0 и σ > 0. Достаточно задать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение [1].
Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Заметим, что для нормального распределения интегральная функция имеет вид:
. (2)

К наиболее важным свойствам данного распределения можно отнести:
- единицей измерения нормального единичного распределения является стандартное отклонение;
- кривая приближается к оси Оz по краям асимптотически – никогда не касаясь ее;
- кривая симметрична относительно М=0. Ее асимметрия и эксцесс равны нулю;
- кривая имеет характерный изгиб: точка перегиба лежит точно на расстоянии в одну σ от М. Площадь между кривой и осью Оz равна 1 [2].


2 Кривая нормального распределения
Большинство процедур статистического анализа, часто используемых в исследованиях, основаны на предположении о том, что наблюдаемые переменные распределяются среди всей популяции по нормальному закону. Если переменная имеет нормальное распределение, то при графическом представлении данных большого числа измерений этой переменной получится кривая характерной колоколообразной формы, которая называется кривой нормального распределения (ее часто называют просто нормальной кривой). Вид кривой нормального распределения показан на рисунке 1.
 

Рисунок 1 - Вид кривой нормального распределения

Любую нормальную кривую можно описать с помощью двух чисел. Одно из них - это усредненное по всем измерениям значение переменной, выраженное в единицах используемой шкалы, то есть среднее значение (а) распределения. Второе число, описывающее нормальную кривую, характеризует вариабельность, или разброс точек кривой относительно среднего значения

. С помощью математических преобразований вариабельность всех кривых такого вида можно выразить через стандартную единицу, которая называется стандартным отклонением (σ).
Если известны среднее значение и стандартное отклонение нормальной кривой, то любой человек может точно воспроизвести эту кривую, поскольку при нормальном распределении переменной в каждый интервал длиной в одно стандартное отклонение влево или вправо от среднего значения попадает строго определенная процентная доля всех наблюдавшихся значений переменной.
Большинство статистических процедур основаны на предположении о нормальности кривой распределения, но некоторые важные для исследования переменные не подчиняются нормальному закону распределения. Такая переменная, как пол, имеет бимодальное распределение, то есть при измерении она может принимать только два значения — мужской и женский. Другие переменные имеют так называемое асимметричное распределение, когда большинство значений переменной группируется вокруг точки измерительной шкалы, которая не является средним значением. Асимметричное распределение имеет вес тела американцев; для людей любого роста и пола (то есть при условии контроля над ростом и полом) доля людей с весом выше среднего больше, чем доля людей с весом ниже среднего [3].


3 Точки перегиба
Рассмотрим функцию y=f(x), которая является непрерывной в точке x0. Функция f(x) может иметь в этой точке конечную или бесконечную производную f′(x0). Если при переходе через x0 функция меняет направление выпуклости, т.е. существует число δ>0, такое, что на одном из интервалов (x0−δ,x0) или (x0,x0+δ) функция является выпуклой вверх, а на другом - выпуклой вниз, то x0 называется точкой перегиба функции y=f(x). 
Геометрический смысл точки перегиба состоит в том, что график функции f(x) переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую, т.е. кривая и касательная взаимно пересекаются.
Другое интересное свойство точки перегиба состоит в том, что график функции f(x) в окрестности точки перегиба x0 расположен внутри одной пары вертикальных углов, образованных касательной и нормалью.
Необходимое условие существования точки перегиба: если x0 − точка перегиба функции f(x) и данная функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0, причем в точке x0 она непрерывна, тоf′′(x0)=0.
Первое достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) непрерывна и дифференцируема в точке x0, имеет вторую производную f′′(x0) в некоторой проколотой δ-окрестности точки x0 и если вторая производная меняет знак при переходе через точку x0, то x0 является точкой перегиба функции f(x). 
Второе достаточное условие существования точки перегиба: пусть f′′(x0)=0, f′′′(x0)≠0. Тогда точка x0 является точкой перегиба функции f(x) [4]. 


4 Соответствия между диапазоном значений и площадью под кривой
Последнее свойство объясняет название нормальное единичное распределение и имеет исключительно важное значение. Благодаря этому свойству площадь под кривой интерпретируется как вероятность, или относительная частота. Действительно, вся площадь под кривой соответствует вероятности того, что признак примет любое значение из всего диапазона его изменчивости (от -∞ до +∞). Площадь под нормальной единичной кривой слева или справа от нулевой точки равна 0,5. Это соответствует тому, что половина генеральной совокупности имеет значение признака больше 0, а половина – меньше 0. Относительная частота встречаемости в генеральной совокупности значений признака в диапазоне от z1 до z2 рана площади под кривой, лежащей между соответствующими точками. 
Для любого нормального распределения существуют следующие соответствия между диапазонами значений и площадью под кривой:
- М±σ соответствует "68% (точно – 68,26%) площади;
- М±2σ соответствует "95% (точно – 95,44%) площади;
- M±3σ соответствует "100% (точно – 99,72%) площади.
Нормальное единичное распределение устанавливает четкую взаимосвязь стандартного отклонения и относительного количества случаев в генеральной совокупности для любого нормального распределения. Если распределение является нормальным, то:
- 90% всех случаев располагается в диапазоне значений М± 1,64σ;
- 95% всех случаев располагается в диапазоне значений М± 1,96σ;
- 99% всех случаев располагается в диапазоне значений М± 2,58σ.
Существует специальная таблица, позволяющая определять площадь под кривой справа от любого положительного z. Пользуясь ею, можно определить вероятность встречаемости значений признака из любого диапазона. Это широко используется при интерпретации данных тестирования [5].

5 Основа проверки нормального распределения выборочных значений
Проверку выборки на нормальность можно производить несколькими путями. Для начала можно вспомнить, какой вид у графика нормального распределения (гистограмма, график плотности и т.п.), как в нормальном распределении соотносятся среднее, мода, медиана, какими должны быть асимметрия и эксцесс, выполняется ли «правило 3-х сигм». С помощью такой описательной статистики можно оценить выборку на нормальность (обычно приемлемо отклонение на порядок ошибки рассчитываемого параметра) [6].
Чтобы определить, соответствуют ли ваши данные нормальному распределению, вам нужно иметь статистику по генеральной совокупности