Логотип Автор24реферат
Реферат на тему: Устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Поведение траекторий линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами (вырожденный случай)
80%
Уникальность
Аа
6021 символов
Категория
Высшая математика
Реферат

Устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Поведение траекторий линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами (вырожденный случай)

Устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Поведение траекторий линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами (вырожденный случай).doc

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также промокод Эмоджи на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

Введение
Актуальность. Многие вопросы физики, химии, экономики, техники и других областей знаний сводятся к следующей задаче: найти функцию ¦, имея некоторые уравнения, в которое кроме этой функции и аргументов, от которых она зависит, входят также ее производные до некоторого порядка включительно. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Т.е. многие вопросы этих областей знаний решаются с помощью дифференциальных уравнений.
Под линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами понимается система. которая имеет следующий вид
dxidt=j=1naij·x(t)j. (1)
С практической точки зрения наиболее интересными являются следующие вопросы - устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами и поведение траекторий линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами. Именно о них и пойдет речь в данной работе.
Цель данной работы заключается в изучении вопросов, касающихся линейных однородных систем с постоянными коэффициентами. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
- изучен имеющийся материал по тематике исследования;
- рассмотрена устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами;
- изучено поведение траекторий линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами (вырожденный случай).
1 Устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
Данная теорема звучит следующим образом: «Пусть вещественные части всех собственных значений матрицы A не положительны и существуют собственные значения с нулевой вещественной частью, причем размерность каждого собственного подпространства совпадает с его кратностью

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

и получи доступ ко всей экосистеме Автор24

Введение
Актуальность. Многие вопросы физики, химии, экономики, техники и других областей знаний сводятся к следующей задаче: найти функцию ¦, имея некоторые уравнения, в которое кроме этой функции и аргументов, от которых она зависит, входят также ее производные до некоторого порядка включительно. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Т.е. многие вопросы этих областей знаний решаются с помощью дифференциальных уравнений.
Под линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами понимается система. которая имеет следующий вид
dxidt=j=1naij·x(t)j. (1)
С практической точки зрения наиболее интересными являются следующие вопросы - устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами и поведение траекторий линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами. Именно о них и пойдет речь в данной работе.
Цель данной работы заключается в изучении вопросов, касающихся линейных однородных систем с постоянными коэффициентами. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
- изучен имеющийся материал по тематике исследования;
- рассмотрена устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами;
- изучено поведение траекторий линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами (вырожденный случай).
1 Устойчивость нулевого решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
Данная теорема звучит следующим образом: «Пусть вещественные части всех собственных значений матрицы A не положительны и существуют собственные значения с нулевой вещественной частью, причем размерность каждого собственного подпространства совпадает с его кратностью . Тогда нулевое решение системы является устойчивым по Ляпунову, но не асимптотически» [1]. Докажем данную теорему.
Для начала следует произвести следующе уточнение для зависимости матрицанта от переменной t 0 в рассматриваемом случае
Zt,0=Y(t)·Y(0)-1. (2)
Для всех элементов Yij(t) фундаментальной матрицы, отвечающих собственным значениям с отрицательной вещественной частью/ Следовательно для них справедлива следующая оцена
Y(t)ij≤Cijexp⁡(αt), (3)
где Cij – постоянные;
∀ ≥ 0;
α 0.
Таким образом
Y(t)ij≤Cij. (4)
По условию теоремы, элементы Ykl(t) фундаментальной матрицы, отвечающие собственным значениям λ = iq с нулевой вещественной частью, являются компонентами вектор-функций из фундаментальной системы решений вида
y(t)=h1·exp⁡(λt). (5)
где h = (h1l , . . . , hnl) – собственный вектор (присоединенные векторы для таких собственных значений отсутствуют).
Очевидно, что и в этом случае элементы фундаментальной матрицы также ограничены
Y(t)kl=hkl·exp⁡(iqt)≤Cij. (6)
Таким образом, все элементы фундаментальной матрицы Y(t) ограничены. Умножение Y(t) на постоянную матрицу Y−1(0) оставляет коэффициенты произведения матриц ограниченными. Следовательно
Z(t,0)ij≤Cij. (7)
Используя лемму о асимптотически устойчивом нулевом решении получаем следующую оценку
y(t)≤nCy0

Больше рефератов по высшей математике:

Моделирование систем управления запасами

11308 символов
Высшая математика
Реферат
Уникальность

Математические модели распространения болезней

23932 символов
Высшая математика
Реферат
Уникальность
Все Рефераты по высшей математике
Закажи реферат

Наш проект является банком работ по всем школьным и студенческим предметам. Если вы не хотите тратить время на написание работ по ненужным предметам или ищете шаблон для своей работы — он есть у нас.