Алгебраическая пропедевтика в начальной школе

Введение

Алгебра – это раздел математики, который изучает свойства переменных величин, операций и отношений между ними и общие способы решения текстовых задач с помощью уравнений. Слово «алгебра» происходит от арабского «al-jabr», что в переводе означает «найти неизвестное». 
В начальном курсе математики алгебраический материал не выделяется в программе как отдельный самостоятельный раздел. Рассмотрение элементов алгебры в НКМ распределено по всему курсу и тесно связано с изучением вопросов арифметики.
Отметим, что основные алгебраические понятия (числовое и буквенное выражение, равенство, неравенство, уравнение) закладываются в НКМ. Они являются базовой основой дальнейшего освоения алгебраического материала в старших классах. Поэтому от того, насколько хорошо усвоены данные понятия младшими школьниками, в будущем во многом будет зависеть их успешное обучение математике в среднем и старшем звене.
Все вышесказанное обусловило актуальность выбранной нами темы реферата «Алгебраическая пропедевтика в начальных классах»
Цель изучить особенности алгебраического материала начального курса математики.
Задачи исследования:
- выделить основные теоретические понятия алгебраической содержательной линии начального курса математики;
- проанализировать несколько комплектов учебников математики для начальных классов на предмет изучения алгебраического материала;
- раскрыть предпосылки изучения элементов алгебры в начальной школе.
Работа состоит из введения, основной части, заключения и списка использованной литературы.

§1. Основные содержательные линии начального курса математики
В методической литературе выделяют несколько содержательных линий начального курса математики.
Так, Белошистая А.В. выделяет две основные линии содержания НКМ. Это содержательная линия «Число и вычисления» и линия «Пространственные отношения. Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин» [10].
Истомина Н.Б. расширяет этот список содержательных линий, выделяя такие из них, как [12]:
Арифметика натуральных чисел и нуля. Эта линия включает в себя изучение понятие числа, цифры, определение всех основных арифметических действий над числами и их свойства.
Геометрическая линия изучает геометрические фигуры (плоские и объемные) и пространственные отношения.
Величины и их измерение. В НКМ изучаются такие величины, как: длина, площадь, объем, масса, время, скорость, а также их единицы измерения.
Чтение данных. В рамках этой содержательной линии младшие школьники учатся читать диаграммы, графики, табличную информацию.
Решение текстовых арифметических задач. Здесь дети знакомятся с понятием задачи, видами задач и обобщенными способами из решения.
Собственно алгебраическая линия, которая включает в себя работу с такими понятиями, как равенство, неравенство, выражение, уравнение. Программой начальных классов предусматривается знакомство учащихся с использования буквенной символики, решений элементарных уравнений первой степени с одним неизвестным и применений их к задачам в одно действие. Эти вопросы изучаются в тесной связи с арифметическим материалом, что способствует формированию числа и арифметических действий.
Кроме этого, некоторые методисты выделяют такие линии содержания, как функциональная, логическая, конструктивная, комбинаторная и др.[26]
Разделение всего школьного курса математики на алгебру и арифметику, конечно же, условно. Переход от одного к другому происходит постепенно и тесно связано с переосмыслением понятия числа как результата операции счета к рассмотрению числа как результата действия измерения некоторой величины[10, 12].
Некоторые методисты указывают, что школьная алгебра начинается именно тогда, когда создаются условия для перехода от целых чисел к действительным числам, к выражению результата измерения величины дробью (простой и десятичной - конечной, а затем бесконечной) [9, 12, 26].
Алгебраическая пропедевтика начинается в начальной школе, где дети подробно и основательно изучают арифметику целых неотрицательных чисел, а также знакомятся с основными алгебраическими понятиями, которые закладывают будущую основу для изучения алгебры в старших классах.


§2. Предпосылки включения алгебраического материала в НКМ

Одной из особенностей модернизации содержания начального математического образования на современном этапе является его алгебраизация. Исаак Ньютон называл алгебру «всеобщей арифметикой» [9]. Алгебра действительно возникла как обобщение арифметики - науки о числах и действиях с ними.
Первое направление такого обобщения — рассмотрение изучаемого в начальной школе множества целых неотрицательных чисел как математической структуры с заданными на нем арифметическими действиями сложения и умножения. Это же множество с отношениями «меньше (больше)» является структурой порядка. Поэтому при изучении чисел и действий с ними есть возможность при обобщении сведений о числах рассматривать свойства множества натуральных чисел и нуля, отдельных чисел по отношению к арифметическим действиям и отношениям, как это принято для рассмотрения множества как математической структуры. Именно такое обобщение направлено на приобщение младших школьников к использованию математических методов познания, формирует структурность мышления и исследовательские способности [10, 21].
Второе направление обобщения арифметического материала — создание языка обобщенного описания чисел, отношений между ними и арифметических действий. В арифметике числа выступают под своими собственными индивидуальными именами. Арифметика состоит из частных случаев. В арифметике запись любого арифметического действия рассматривается как задача, требование которой — найти по двум данным числам результат действия — третье определенное единственным образом число[21].
Третье направление обобщения арифметического материала - необходимость символьной записи

. Свойства арифметических действий, свойства отношений между числами справедливы для всех чисел. Для показа этого в математической записи мы не можем использовать цифровое обозначение чисел. Чтобы свойства чисел могли быть записаны не только на естественном языке, но и в виде короткой символической записи, необходимо изобрести соответствующие знаки. Кроме того, интересно было бы также посмотреть на «царство чисел» сверху, чтобы представить, как оно в целом устроено. Для этого тоже нужны обозначения чисел, с помощью которых можно на письме изображать все числа или многие, в том числе неизвестные. Формой такого «взгляда сверху», формой обобщения, могла бы быть специальная система обозначения чисел. В этой системе знак мог бы обозначать некоторое произвольное число из заданного множества чисел. Тогда появляется возможность исследовать и другие свойства, закономерности, характеризующие множество чисел как математическую структуру.
Для удовлетворения вышеописанных требований язык описания числового множества с заданными на нем арифметическими действиями графическими символами и знаками был создан. Из истории математики известно, что к современному языку алгебры человечество шло тысячелетия. Язык алгебры — это язык математических выражений, равенств и неравенств. Это язык письменный. Как у всякого письменного языка в нем есть алфавит, в который входят буквы и цифры, которыми обозначаются числа, знаки действий, знаки отношений, скобки, запятая. В этом языке есть разные виды слов, определяемые по внешнему виду: слова - «имена существительные» — числа, математические выражения, равенства и неравенства; «глаголы» - знаки арифметических действий; «наречия» - знаки отношений. Этот язык содержит и правила записи, и правила чтения, что свойственно любым языкам. В этом языке есть и некоторые другие признаки языка, например слова - синонимы — разные числовые или буквенные выражения с равными числовыми значениями [27].
Раннее знакомство с языком алгебры позволяет не только обобщить знания младших школьников в целом о понятии числа и действий над числами, способствует формированию и развитию приемов умственных действий (в частности, обобщения и абстрагирования), но и заложить прочную теоретическую базу для успешного усвоения учащимися алгебраического материала в систематическом курсе алгебры средней школы[10,12,26].


§3. Роль алгебраического материала в курсе математики начальных классов
Методически считается, что основная роль элементов алгебры в курсе математики начальных классов состоит в том, чтобы способствовать формированию обобщенных представлений детей о понятии «количество» и смысле арифметических действий.
На сегодняшний день имеются две различные точки зрения в определении объема содержания алгебраического материала в курсе математики начальной школы. Сторонники первой точки зрения считают, что необходима ранняя алгебраизация курса математики начальных классов, необходимо включение алгебраического материала в НКМ, начиная уже с первого класса. Вторая точка зрения связана с введением алгебраического материала в курс математики для начальной школы на его завершающем этапе, в конце 4 класса. Представителями первой точки зрения можно считать авторов альтернативных учебников – это система развивающего обучения Л.В. Занкова (И.И. Аргинская) [5,6,7,8], системы развивающего обучения Эльконина - В.В. Давыдова (Э.Н. Александрова) [1,2,3,4], системы «Школа 2100» (Л.Г. Петерсон), системы «Школа XXI века» (В.Н. Рудницкая). Представителем второй тенденции можно считать автора альтернативного учебника системы «Гармония» Н.Б. Истомину[13,14,15,16].
Учебник системы «Школа России» (М.И. Моро) традиционной школы [17,18,19,20] можно считать представителем «серединных» взглядов — он содержит достаточно много алгебраического материала, поскольку ориентирован на использование учебника математики Н.Я. Виленкина в 5—6 классах средней школы, но знакомит детей с алгебраическими понятиями начиная со 2 класса, распределяя материал на три года, и за последние годы переиздания и переработки практически не расширяет список алгебраических понятий.
Отметим, что в требованиях ФГОС НОО и обязательного минимума содержания образования по математике для начальных классов не содержит алгебраического материала. Там не упоминаются умения и навыки выпускников начальной школы работать с алгебраическими понятиями и требования к уровню их подготовки на завершающем этапе обучения математике в начальных классах [24].
§4. Основные алгебраические понятия НКМВведение

элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение.
Рассмотрим определения основных понятий начального курса математики, основанных на элементах алгебры - числовые выражения, буквенные выражения, равенство, неравенство, уравнение.
Последовательность букв и чисел, соединенных знаками действий, называют математическим выражением [10].
Следует отличать математическое выражение от равенства и неравенства.
Например:
3 + 2 - математическое выражение.
7 - 5; 64:8 + 2 - математические выражения.
а+ 6; 5х - математические выражения.
3апись вида 3 +4 = 7 не является математическим выражением, это числовое равенство.
3апись вида а>7, 3 <5 – это неравенства.
Среди математических выражений выделяют числовые и буквенные выражения.
Математическое выражение, содержащее только числа и знаки арифметических действий, называют числовым выражением[10]