Математические основы решения иррациональных уравнений и неравенств

Введение

Основные теоретические данные, связанные с уравнениями и неравенствами, включены в значительную часть математического курса. Одним из основных разделов алгебры являются иррациональные уравнения и неравенства. Сложности при изучении этого вида уравнений и неравенств заключены в следующих особенностях [4]:
в большинстве случаев отсутствие четкого алгоритма решения иррациональных уравнений и неравенств;
при решении уравнений и неравенств данного вида приходится делать преобразования, приводящие к уравнениям (и неравенствам), не равносильным данному, вследствие чего чаще всего возникают ошибки, которые обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения.
Объектом исследования являются математические пособия. Предмет исследования – методы решения иррациональных уравнений и неравенств.
Целью работы является систематизация алгоритмов решения иррациональных уравнений и неравенств. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
проанализировать литературу по данной теме;
подобрать теоретический материал, связанный с методами решения иррациональных уравнений и неравенств;
подобрать примеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемой теории.
Реферат состоит из трех частей, в первой части раскрывается сущность теоретических аспектов иррациональности акцентируя внимание на разделение иррациональных чисел на классы. Вторая и третья главы содержат информацию об основных методах решения иррациональных уравнений и неравенств соответственно.
1 Теоретические аспекты иррациональности

Первые упоминания об иррациональных числах появляются в античном мире среди индийских математиков. В этот период они уже умели освобождаться от иррациональности в знаменателях [2]. Сегодня эта тема изучена на столько подробно, что иррациональность присутствует во многих разделах математики. Ниже автор рассматривает подробно основные теоретические аспекты иррациональностей.
Число х называется иррациональным, если оно представимо в виде бесконечной непериодической десятичной дроби x=a0, a1, a2, … an (например: 2 , 3, π и т.д.). Каждое иррациональное число можно с любой заданной степенью точности приблизить рациональными числами; для этого достаточно убрать в десятичном разложении этого числа конечное множество знаков после запятой. Поэтому на практике при различных измерениях оперируют рациональными числами. Но в общих математических законах и формулах нельзя обойтись без иррациональных чисел (например, формула длины окружности l=2πR включает иррациональное число π).
Множество (совокупность) всех рациональных и иррациональных чисел вызывают множеством действительных чисел. Действительные числа изображаются на числовой оси Ох точками (рис. 1). При этом каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и каждой точке оси соответствует определенное действительное число.

Рис. 1 – Числовая ось

Теперь рассмотрим классы иррациональности. Но в начале необходимо отметить, что все идеи и методы элементарной алгебры применимы к действительным числам как рациональным, так и иррациональным. [3]
Первый класс, который рассматривается в работе – чистая или смешанная иррациональность. Число вида ±a, где a – положительное рациональное число, не являющееся квадратом другого рационального числа, назовем чистой квадратичной иррациональностью. Число вида a±b, где a рационально, а b – чистая квадратичная иррациональность или смешанная квадратичная иррациональность.
Оба числа a±b являются корнями квадратного уравнения x2-2ax+a2-b=0. Обратно, уравнение x2+2px+q=0, где р и q рациональны и p2-q>0, имеет своими корнями две квадратичные иррациональности – -p±p2-q

.
Единственным классом иррациональных чисел, существование которых следовало требовать на основании геометрических рассмотрений, являются эти квадратичные иррациональности, чистые и смешанные, а также более сложные иррациональности, которые могут быть выражены формулами, содержащими повторное извлечение квадратных корней, как, например,
2+2+2+2+2+2
только такие иррациональные числа могут быть построены методами Эвклида (т. е. с помощью только циркуля и линейки). Это свойство квадратичных иррациональностей делает их особенно интересными.
Две квадратичные иррациональности будем называть подобными, если они являются рациональными кратными одной и той же иррациональности. Так, 8=22 , 252=522, и следовательно 8 и 252 – подобные иррациональности. С другой стороны, если M и N – положительные взаимно простые числа, причем ни одно из них не является квадратом целого числа, то М и N не являются подобными иррациональностями.
Действительно, допустим, что М=pqtu , N=rstu, где все буквы обозначают целые числа. Тогда MN, очевидно, является рациональным числом, и, следовательно целым. Таким образом, MN=p2, где p – целое число. Пусть a, b, c … – простые делители числа P, так что MN=a2αb2βc2γ…, где α, β, γ – положительные целые числа. Тогда MN делится на a2α, откуда следует, что либо М делится на a2α, либо N делится на a2α, либо М и N оба делятся на a2α. Но эта последняя возможность должна быть отброшена, так как М и N, по предположению, взаимно простые числа. Это рассуждение применимо к каждому из множителей a2α, b2β, c2γ. Так что М должно делиться на некоторые из этих множителей, а N — на остальные. Но тогда M=P12, N=P22, где P12 означает произведение некоторых из множителей a2α, b2β, c2γ, ..., а P22 – произведение остальных. Следовательно, М и N являются квадратами целых чисел, что противоречит нашему предположению.
Теорема: если А, В, С, D рациональны и A+B=C+D, то либо А = С и B=D, либо В и D являются каждое квадратом рационального числа [3].
Действительно, B-D рационально и B-D=C-A также рационально. Если В не равно D (в противном случае также и А равно С), то мы найдем, что B+D= B-DB-D также рационально. Следовательно, B и D рациональны.
Следствие: если A+B =C+D, тогда и A-B= C-D (если только B и D не являются рациональными числами) [3].
Совокупность всех действительных чисел, рациональных и иррациональных, называется арифметическим континуумом. Предположим, что прямая линия (рис. 1), состоит из точек, соответствующих всем числам арифметического континуума, и никаких других точек не содержит. Точки прямой, совокупность которых можно назвать линейным континуумом, представляют тогда достаточно удобный образ арифметического континуума.
Кроме иррациональных чисел, которые могут быть выражены как чистые или смешанные квадратичные иррациональности или как комбинации корней высших степеней из рациональных чисел, существуют другие иррациональные числа, которые также являются корнями алгебраических уравнений, но не могут быть так выражены. Такие выражения могут быть найдены только в самых специальных случаях.
Но даже после того, как мы прибавим к нашему перечню иррациональных чисел корни уравнений (таких, как, например, x5=x+16), которые не могут быть выражены с помощью комбинаций корней любых степеней из рациональных чисел, мы далеко еще не исчерпаем всех родов иррациональных чисел, содержащихся в континууме. Проведем окружность с диаметром А0А1, т. е. равным единице. Естественно предположить, что эта окружность обладает некоторой длиной, которую можно измерить. Эта длина обычно обозначается через π. Доказано, что число π не является корнем никакого алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами, как, например, π2=n, π3=n, π5=π+n, где n – целое число