Задания для самостоятельных работ

Представленные задания для самостоятельных работ направлены на отработку различных навыков, полученных в ходе факультативного курса по применению теории симметрии.
Для решения заданий на применение симметрических многочленов целесообразно пользоваться таблицей степенных сумм:
Таблица 4. Выражение степенных сумм через симметрические многочлены.
Выражение степенных сумм
sn=xn+yn через
σ1=x+y, σ2=xy
Выражение степенных сумм sn=xn+yn+zn через
σ1=x+y+z, σ2=xy+xz+yz, σ3=xyz
s0= 2
s1=σ1
s2=σ12-2σ2
s3=σ13-3σ1σ2
s4=σ14-4σ12σ2+2σ22
… s0= 3
s1=σ1
s2=σ12-2σ2
s3=σ13-3σ1σ2+3σ3
s4=σ14-4σ12σ2+2σ22+4σ1σ3
…
№1. Является ли прямая y=x осью симметрии графика функции y=2x+1 [12]?
Решение.
Так как графиком дробно-рациональной функции y=ax, а значит, и y=2x, является гипербола, а она симметрична относительно начала координат, то прямая y=x и перпендикулярная ей y=-x являются осями симметрии (если x и y поменять местами, то график останется на месте).
График функции y=2x+1 получается из y=2x сдвигом на 1 единицу влево. Следовательно, и график оси симметрии также сдвинется.
Функции осей симметрии графика дробно-рациональной функции y=ax-b+c имеют следующий вид: y=x-b+c и y=b-x+c.
Подставим данные исходной функции и получим:
y=x+1 и y=-1-x.
Ни одно из полученных выражений не равно y=x. Значит, данная прямая не является графиком заданной функции.
Ответ: нет.
№2. Построить график функции y=x2-4x+3.
Ответ:
№3. Построить график функции x2+y2-2x+4y+1≤0.
Ответ:
Выполним преобразование: x2-2x+1+y2+4y+4-4≤0
Перепишем функцию в виде: x-12+y+22≤4.
Таким образом, получаем функцию окружности радиуса 2 с центром в точке (1; –2). Но так как присутствует x, то левая часть графика строится с помощью симметрии относительно оси ординат. Далее, исходя из того, что по условию нестрогое неравенство ≤, заштриховываем внутреннюю часть графика и выделяем контур.
№4. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство 5a2-6ab+5b2≥0 [5].
Доказательство:
5a2-6ab+5b2=5σ12-10σ2-6σ2=5σ12-16σ2=
=5σ12-16∙14σ12-z=5σ12-4σ12+z=σ12+z.
Т.к. σ12≥0 и z≥0, то σ12+z≥0, откуда следует, что исходное неравенство верно.
№5. Решить систему уравнений x3+y3=35,x+y=5.
Решение.
Так как x+y=σ1, xy=σ2, x3+y3=σ13-3σ1σ2, то система придет к виду
σ13-3σ1σ2=35,σ1=5.
Подставим значение σ1 в первое уравнение, получим
53-3∙5σ2=35 → σ2=6.
Тогда
x+y=5,xy=6; → x=2y=3 или x=3y=2.
Ответ: 2;3, (3;2).
№6

. При каких значениях параметра а система имеет единственное решение [12]?
ax4+1=y+2-x,x2+y2=4.
Решение. Второе уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 2.
Выразим y из первого уравнения:
y=ax4+x-2+a.
График данной функции симметричен относительно оси y и преобразуется с помощью сдвига по оси y и растяжения или сужения относительно оси y.
Построим необходимую окружность и графики уравнения с параметрами:
a=0, a=1, a=2, a=3, a=4.
x
y
2
2
-1
-1
1
1
-2
-2
Как мы видим, единственное решение при a=4.
Ответ: a=4.
№7. Найти все значения параметра a, при которых система
x2+y2=1,x+y=a
имеет единственное решение [41].
Решение.
Выразим уравнения через симметрические многочлены:
σ12-2σ2=1;σ1=a.
Подставим значение σ1=a в первое уравнение:
a2-2σ2=1→ σ2=a2-12.
Тогда
x+y=a,xy=a2-12.
Запишем соответствующее квадратное уравнение:
t2-at+a2-12=0.
Избавимся от знаменателя, умножив левую и правую части на 2:
2t2-2at+a2-1=0.
Чтобы данное уравнение имело единственно решение, необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю:
D=4a2-8a2+8=-4a2+8; -4a2+8=0 → a2=2→a=±2.
Ответ: a=±2.
№8. Найти все значения параметра a, при которых система
x2+y2=2(1+a),x+y2=14
имеет ровно два различных решения [41].
Решение.
Произведем замену x+y=σ1, xy=σ2, x2+y2=σ12-2σ2.
Тогда получаем
σ12-2σ2=2(1+a),σ12=14.
Подставим значение σ12=14 в первое уравнение, получим
14-2σ2=21+a→σ2=6-a.
Вернемся к замене и составим соответствующее уравнение:
x+y=±14,xy=6-a, → t2∓14+6-a=0.
Чтобы уравнение имело единственное значение, необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю, т.е.
D=14-24+4a=-10+4a, -10+4a=0 →a=2,5.
Ответ: a=2,5.
№9. Вычислить сумму квадратов корней уравнения
x2+4x-7=0.
Решение: по теореме Виета x1+x2=-4; x1∙x2=-7.
Введем переменные σ1=x1+x2 и σ2=-7.
x12+x22=σ12-2σ2=16+14=30.
Ответ: 30.
№10. Вычислить x13x2+x1x23+x23x3+x2x33+x33x1+x3x13 от корней уравнения x3+2x2-5x-1=0.
Решение: по теореме Виета для кубического уравнения
x1+x2+x3=-ba; x1x2+x2x3+x1x3=ca; x1x2x3=-da.
Введем симметрические многочлены и подставим коэффициенты уравнения:
σ1=x1+x2+x3=-2; σ2=x1x2+x2x3+x1x3=-5; σ3=x1x2x3=1.
В искомом выражении вынесем за скобки кубические множители и преобразуем его:
x13x2+x1x23+x23x3+x2x33+x33x1+x3x13=
=x13x2+x3+x23x1+x3+x33x1+x2=
=x13-2-x1+x23-2-x2+x33-2-x3=
=-2x13-x14-2x23-x24-2x33-x34=
=-2x13+x23+x33-(x14+x24+x34).
Пользуясь таблицей 4 вычислим сумму кубов и сумму четвертых степеней корней уравнения:
x13+x23+x33=σ13-3σ1σ2+3σ3=-8-3∙-2∙-5+3=-35;
x14+x24+x34=σ14-4σ12σ2+2σ22+4σ1σ3=
=16-4∙4∙-5+2∙25+4∙-2∙1=138.
Тогда получаем
-2x13+x23+x33-x14+x24+x34=-2∙-35-138=70-138=
=-68.
Ответ: -68.
№11