Способ(аналитический). Введение новой переменной и приведение исходного уравнения к квадратному
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Пусть t=6x, t0, тогда данное уравнение примет следующий вид:
36x6x2=t2-8a+5∙6xt+16a2+20a-14=0,
t2-8a+5∙t+16a2+20a-14=0.
(*)
В этом случае задачу можно переформулировать: при каких значениях a квадратное уравнение (*) имеет один положительный корень? Тогда другой корень должен быть неотрицательным. Благодаря теореме Виета, можем рассмотреть два случая.
Примечание. Давайте вспомним теорему Виета и следствия из нее.
1-ый случай. В данном случае применим следствие 1, а именно свободный член c=16a2+20a-14 отрицательный (c0), тогда D0:
16a2+20a-140.
Решите полученное квадратное неравенство и получите ответ: a∈-74;12.
Решение.
2-ой случай. Теперь воспользуемся следствием 2, а именно: c=0, b0. Получаем
16a2+20a-14=0,8a+50,
Решение.
В результате имеем a=12.
Итак, оба случая приводят к ответу: исходное уравнение имеет единственное решение при a∈-74;12.
Способ 2 (аналитический). Данный способ очень похож на предыдущий, но есть некоторые отличия.
Вычислим дискриминант уравнения (*):
D=8a+52-4∙1∙16a2+20a-14=
=64a2+80a+25-64a2-80a+56=81.
Поскольку D0, то полученное уравнение (*) имеет два различных корня, а именно:
t1=8a+5-812=8a+5-92=4a-2,
t2=8a+5+92=4a+7,
причем при всех a t1t2, т.е. 4a-24a+7.
Исходное уравнение будет иметь единственное решение, если одно из чисел t1 или t2 будет положительным, другое – неположительным. Следовательно, имеем
4a-2≤0,4a+70,⟺a≤12a-74,,⟺a∈-74;12.
Способ 3 (графический)
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
. Благодаря описанным выше двум способам мы знаем, что t1=4a-2, t2=4a+7. Вернемся к изначальной переменной x и выразим a через нее:
6x=4a-2⟹4a=6x+2⟹a=6x+24=6x4+12,
6x=4a+7⟹___________⟹_____________⟹a=6x4-74.
2998470270510В одной системе координат xOa построим графики функций a=6x4+12 и a=6x4-74 (рис.). Обратим внимание на прямые, которые параллельны оси x и пересекают построенные графики. Единственная точка пересечения (соответствующая единственному решению) возможна при условии a∈-74;12.
Ответ: a∈-74;12
Задание. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
3xy+3ax-ay-a2-3=0,9x2+9y2-6ax+18ay+7a2-2a-17=0
имеет ровно два различных решений.
Решение.
Способ 1 (аналитический, введение двух новых переменных). Рассмотрим каждое из уравнений системы в отдельности.
В 1-ом уравнении 3xy+3ax-ay-a2-3=0 можно сгруппировать члены следующим образом и получить:
3xy+3ax-ay-a2-3=0,
3xy+3ax-ay+a2=3,
3xy+a-ay+a=3,
y+a3x-a=3.
Во 2-ом уравнении 9x2+9y2-6ax+18ay+7a2-2a-17=0 также сгруппируем члены и выделим полный квадрат:
9x2-6ax+9y2+18ay+7a2-2a-17=0,
9x2-6ax+a23x-a2-a2+9y2+18ay+9a23y+3a2-9a2+7a2-2a-17=0,
3x-a2+3y+3a2-10a2+7a2-2a-17=0,
3x-a2+9y+a2-3a2-2a-17=0,
3x-a2+9y+a2=3a2+2a+17.
После данных преобразований исходная система примет следующий вид:
y+a3x-a=3,3x-a2+9y+a2=3a2+2a+17.
Пусть u=3x-a, v=y+a, тогда получим
uv=3,u2+9v2=3a2+2a+17.
Помножим 1-ое уравнение системы на (-6) и прибавим ко второму уравнению, таким образом, получим:
u2-6uv+9v2=3a2+2a+17-18,
u2-6uv+9v2=3a2+2a-1,
u-3v2=3a2+2a-1.
(*)
Теперь рассмотрим три случая.
1 случай 3a2+2a-10
Уравнение (*) не имеет решения ⟹ исходная система не имеет решение.
2 случай 3a2+2a-1=0
При a=-1 и a=13 получаем u-3v2=0⟹u=3v
50% курсовой работы недоступно для прочтения
Закажи написание курсовой работы по выбранной теме всего за пару кликов. Персональная работа в кратчайшее время!
