Спектры сигналов с угловой модуляцией

Заданный сигнал, выражение (0.2) – это сигнал с однотональной фазовой модуляцией (ФМ), у которого фаза меняется по закону модулирующего однотонального сигнала CITATION ОАС07 \l 1049 [2]. ФМ – сигналы характеризуются величиной модулирующей частоты и величиной - индексом модуляции - девиацией фазы (максимальным отклонением фазы).
Для нахождения спектра заданного сигнала выражение (0.2) запишем в виде:
(1.5)
Выражения и можно разложить в ряды Фурье по формулам CITATION ГКо73 \l 1049 [3]:
(1.6а)
(1.6б)
- четные функции Бесселя, - нечетные функции Бесселя порядка , аргумента .
Для этого необходимо представить косинус в виде синуса:
(1.7а)
(1.7б)
Примем . Тогда получим два ряда Фурье:
Для четных составляющих:
(1.8а)
Для нечетных составляющих:
(1.8б)
Выражение определяют знак четных составляющих, а - нечетных составляющих.
Тогда с учетом разложений (1.8а) и (1.8б) после преобразований сигнал с угловой модуляцией можно представить в виде ряда Фурье для 25 гармоник выше несущей и 25 гармоник ниже несущей частоты, всего для 51 гармоники  CITATION ОАС07 \l 1049 [2]:
(1.9)
где первое слагаемое это спектральная составляющая на несущей частоте, первая сумма – это спектральные составляющие выше несущей частоты, вторая сумма – спектральные составляющие ниже несущей частоты, множитель определяет знак соответствующих спектральных составляющих

. Этот множитель обусловлен тем, что в разложении в ряд Фурье (1.8а) и (1.8б) косинус был заменен на синус