Симметрия в алгебре. Разработка факультативного курса для общеобразовательных учреждений
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Введение
Люди издавна стремились добиться красоты и совершенства и заметили, что красота там, где есть симметрия. Сейчас она окружает нас повсюду. Её образы встречаются и в архитектурных сооружениях, и в произведениях искусства, и предметах быта, и в строении небесных тех, и многом другом. Мы настолько привыкли к ее существованию, что не замечаем ту изящность, которую она придает. Но кроме окружающего нас мира симметрия присутствует и в символах, законах. Математики, в свою очередь, также стремились к красоте математических формул и считали красивее ту, где больше симметрии. Она используется в записи чисел (например, 202, 63036, 1250521 и т.д.), ее можно встретить при исследовании и построении графиков прямой и обратной, четной и нечетной функций, при изучении треугольника Паскаля и т.д. Немецкий математик 20-го века Герман Вейль сказал об этом следующее: «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Если рассматривать симметрию в широком смысле этого слова, то можно сказать, что это есть неизменность чего-либо при каких-либо преобразованиях. В данной курсовой работе мы рассмотрим симметрию в алгебре. Тема симметрии в школьном курсе алгебры изучается в совершенно разрозненных главах и при этом лишь вскользь. Симметрия графиков изучается как на базовом, так и на профильном уровнях. Но на базовом уровне понятие симметрии графиков не дается конкретно, а лишь как пояснение к свойству. В то время как на профильном уровне понятие симметрии раскрывается более четко и понятно, но всё же мало применяется само свойство симметрии при построении графиков, хотя и значительно облегчает данное действие. Симметрические многочлены в школе изучается только на профильном уровне и при этом поверхностно, хотя дети ее всегда принимают с интересом. Кроме того симметрия проявляет себя и в заданиях ЕГЭ, которые очень часто выпускники решить не могут, так как сталкиваются с проблемой невозможности применения метода, изученного ранее в школе. Особую сложность вызывают уравнения высших степеней, системы уравнений с двумя и более неизвестными, системы уравнений высших степеней, иррациональные уравнения, уравнения с параметрами и многие другие. Многие из них можно решить, зная теорию симметрических многочленов. Поэтому имеется необходимость в факультативном курсе по изучению теории симметрии в алгебре в общеобразовательных учреждениях. Целью курсовой работы является комплекс материалов для организации факультативного курса по теме «Симметрия в алгебре» в общеобразовательных учреждениях. Задачи: анализ содержания школьных учебников по теории симметрии; изучение теоретических аспектов темы «Симметрия» в курсе алгебры; подбор и решение примеров на применение теории симметрии; разработка факультативного курса по теме «Симметрия в алгебре» для общеобразовательных учреждений; составление примерных конспектов уроков для факультативного курса. Вспомним, что к стандартным методам решения уравнений и неравенств, изучаемых в школьном курсе математики, относятся: разложение многочлена на множители (введение новой переменной, вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения, способ группировки, выделение полного квадрата); метод понижения степеней; метод интервалов; метод подстановки и т.д. Но к некоторым видам уравнений (неравенств) невозможно применить ни один из этих методов. И тут перед учениками встает проблема: уравнение нужно решить, а ни один из изученных приемов не подходит. И тогда мы приходим к симметрическим многочленам. Пропедевтикой симметрии в алгебре является рассмотрение в 5 и 6 классах на уроках математики симметрических точек (это такие точки A и B, которые симметричны относительно фиксированной точки O, если точка O (центр симметрии) является серединой отрезка AB [11]), нахождение центра симметрии на отрезке, построение симметричных фигур на координатной плоскости. Например, задания по теме «Координатная прямая»: Точка координатной прямой О (0) – центр симметрии. Укажите точку, симметричную точке М (-0,5) относительно этого центра; Точка В (-10) является центром симметрии. Укажите точку, которая будет симметрична точке А (15,5) относительно данного центра; Найдите координату центра симметрии для пары симметричных точек К (-3,4) и Е (12,2). Тема «Координатная плоскость»: Отметьте на координатной плоскости точку А (-5; 7). Укажите точки, симметричные точке А относительно оси абсцисс, оси ординат и начала координат. Найдите их координаты; Запишите координаты концов отрезка, симметричного отрезку МН относительно оси абсцисс, если М (0; 5), Н (1; 3); Постройте координатную плоскость. Найдите координаты вершин треугольника, симметричного ∆АВС относительно оси ординат, если А (-2,5; 1,5), В (1; 2), С (4; 1); Необходимо построить на координатной плоскости четырехугольник, симметричный четырехугольнику АВСD относительно начала координат, и записать координаты его вершин, если А (-6; 2), В (-7; 7), С (-2; 6), D (0;0) [15]. Тема «Числовые промежутки»: Укажите центр симметрии числового промежутка, если он существует: (-2; 15); (-120; -52); Через начало отсчета О перпендикулярно координатной прямой проведена прямая у. На координатной прямой взят числовой промежуток. Найдите числовой промежуток, симметричный данному относительно оси у. Но, к сожалению, в школах без углубленного изучения математики при переходе в 7 класс, когда математика делится на алгебру и геометрию, изучение симметрий и их применений обрывается. Лишь в 9 классе учащиеся снова обращаются к этой теме при изучении преобразований плоскости и движения, графиков четных и нечетных функций, а после вспоминают о симметрии уже в 11 классе при изучении правильных многогранников. Этот разрыв неблагоприятно сказывается на усвоении знаний по теме «Симметрия», а также на умении учащихся применять свойства симметрий для решения разноплановых задач. Однако понятие и свойства симметрий применяются не только при решении геометрических задач, но и алгебраических уравнений и систем, при построении четных, нечетных, периодических функций и функций, содержащих модуль, а также с использованием знаний по теме «Симметрия» достаточно просто и красиво решаются некоторые задачи ЕГЭ [15]. В данной работе систематизированы темы симметрии в алгебре. Представлено использование симметрии при построении графиков функций, рассмотрены методы решения уравнений, систем, неравенств с помощью симметрических многочленов, а также применение симметрии при решении некоторых задач с параметром. Практическая значимость курсовой работы заключается в том, что данные материалы могут быть использованы педагогами школ, а также учениками для подготовки к ЕГЭ.
Анализ школьных учебников по теме «Симметрия графиков функций»
Впервые с симметрией в алгебре обучающиеся сталкиваются при построении графиков функции. В данном случае симметрия зависит от того, какой является функция: четной или нечетной. Рассмотрим, каким образом в школьных учебниках по алгебре происходит знак...
Открыть главуИсследование графиков функций на симметричность
Введем необходимые определения. Функция y=f(x) называется четной, если при любых значениях x, принадлежащих области определения D(f), верно равенство f-x=f(x). Функция y=f(x) называется нечетной, если при любых значениях x, принадлежащих области опре...
Открыть главуАнализ школьных учебников по теме «Симметрические многочлены»
Рассмотрим, каким образом представлена теория симметрии в основных комплектах школьных учебников по алгебре таких авторов, как Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., Башмаков М.И., Колягин Ю.М., Дорофеев Г.В. Проанализировав учебные пособия, мы выяснили, что...
Открыть главуСимметрические многочлены от двух переменных
Рассмотрим следующие уравнения: x2+xy+y2=4; x2y+xy2=a3; x2-xy+y2=7; 8x3+y3=65; x2+1y2+1=10; x+yxy-1=3. Что их объединяет? Все эти уравнения имеют одно общее свойство – их левые части являются такими многочленами, которые содержат переменные x и y од...
Открыть главуСимметрические системы уравнений
В ряде случае приходится решать системы уравнений с симметрическим вхождением переменных, слагаемых, сомножителей. Системы с таким свойством называют симметрическими [26]. Обычно для решения систем высших степеней применяют метод исключения, так как ...
Открыть главуСимметрия графиков функций
1.1.1. Анализ школьных учебников по теме «Симметрия графиков функций» Впервые с симметрией в алгебре обучающиеся сталкиваются при построении графиков функции. В данном случае симметрия зависит от того, какой является функция: четной или нечетной. Рас...
Открыть главуИспользование симметрии при решении задач с параметром
y≥x2+2a,x≥y2+2a. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение [12]. Решение. Заметим, что если x0;y0 – решение системы, то и y0;x0 также является решением [38]. Значит, необходимым условием еди...
Открыть главуПояснительная записка
Давно известно, что решение многих задач из курса алгебры и начал анализа значительно облегчается, становится «прозрачным» и красивым, если заметить и использовать определенные особенности, например, симметричность условия задачи, применяемых математ...
Разработка урока на тему «Введение в симметрические многочлены от двух переменных»
Цели урока: образовательная: ознакомление школьников с понятиями симметрического многочлена; развивающая: развитие умения мыслить логически, выделять главное, внимания, памяти, формулировки мысли; воспитательная: развитие чувства ответственности, са...
Открыть главуЗадания для самостоятельных работ
Представленные задания для самостоятельных работ направлены на отработку различных навыков, полученных в ходе факультативного курса по применению теории симметрии. Для решения заданий на применение симметрических многочленов целесообразно пользоватьс...
Открыть главуЗаключение
Все мы знакомы с таким явлением, как симметрия. Конечно, в первую очередь, мы понимаем ее в геометрическом смысле – как соразмерность и гармонию частей тела или фигуры. Но, на самом деле, сама идея симметрии несет в себе нечто большее, она проникла практически во все сферы нашей жизни и, пожалуй, самое важное свое применение нашла в науке. Принцип симметрии помогает открывать законы, исследовать различные объекты, упрощать решение сложных задач [30]. Моя курсовая работа посвящена применению симметрии в алгебре. Целью данной работы было создание комплекса материалов для организации факультативного курса по теме «Симметрия в алгебре» в общеобразовательных учреждениях. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: анализ содержания школьных учебников по теории симметрии; изучение теоретических аспектов темы «Симметрия» в курсе алгебры; подбор и решение примеров на применение теории симметрии; разработка факультативного курса по теме «Симметрия в алгебре» для общеобразовательных учреждений; составление примерных конспектов уроков для факультативного курса. Первый раздел курсовой работы содержит в себе теоретический материал, необходимый для дальнейшего применения при решении различных задач по теории симметрии. Во втором разделе решено несколько примеров на разные темы данной теории. И третий раздел представляет из себя разработку факультативного курса по теме «Симметрия в алгебре», направленного на обучающихся 10 классов, так как включены задачи с параметрами и задания из ЕГЭ. Как бы мы жили без симметрии? Неужели она лишь украшает наш мир? Без симметрии наш мир выглядел бы совсем по-другому. Ведь именно на симметрии основаны многие законы сохранения. Например, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса являются следствиями пространственно-временных симметрий. И без этих симметрий не было бы законов сохранений, которые во многом управляют нашим миром [33]. С помощью симметрических многочленов заметно облегчается решение таких задач, как доказательство тождеств и неравенств, решение иррациональных уравнений, разложение на множители и так далее [30]. Применение метода, основанного на свойствах симметрических многочленов, позволяет значительно расширить и углубить знания учащихся по важнейшим темам алгебры, связать их друг с другом, показать преемственность в их изучении. Учащиеся оттачивают навыки различных преобразований, развивают логическое мышление, интуицию, свои творческие способности, действуя в той или иной нестандартной ситуации. В результате улучшается качество подготовки учащихся по предмету, что раскрывает лучшие возможности для дальнейшего их образования [2]. Познакомив учащихся с основами теории симметрических многочленов, например, в рамках факультативных занятий, учитель дает им в руки не просто новый метод решения задач, а приоткрывает завесу над прекрасной стороной математики, где ученик в полной мере сможет удовлетворить потребность своего логического мышления в анализе, поиске ассоциаций, классификации понятий и синтезе различных идей. Рассмотренный выше метод решения симметрических уравнений, изучению которого в общеобразовательной школе уделяется мало внимания, позволяет не только расширить область успешно решаемых «школьных» задач по математике, но и способствует развитию у старшеклассников уровня математической культуры и грамотности [14]. Решение нестандартных заданий, задач повышенной сложности позволяет развивать логику мышления, а также повышать шансы учащихся на успешную сдачу экзамена по математике и более легкое последующее обучение в ВУЗе [8]. Анализ программ школьного курса математики показал, что в базовом курсе материал по теме «Симметрия» представлен односторонне, нет акцента на взаимосвязи темы с разными предметами, с разными сторонами окружающего мира. Можно ликвидировать этот пробел через организацию внеклассных занятий по математике, через элективные курсы, через обобщающие занятия, через вовлечение учащихся в самостоятельную исследовательскую работу, через организацию творческих заданий [12]. Материал данной курсовой работы будет полезен учителям математики, ученикам старших классов, студентам вузов. Практически в каждом примере пошагово разбирается его решение.
Список литературы
Антонов А.И. Применение теории симметрических многочленов к решению алгебраических задач. // Актуальные проблемы современного образования. 2012. №13-1. С. 99-106. Атарщикова Л.К., Ламкина М.К. Использование симметрических выражений в решении уравнений высших степеней и систем уравнений. // Актуальные проблемы современного образования. 2014. №2 (17). С. 104-109. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 классов сред.шк. – М.: Просвещение, 1992. – 351 с. Богданова Т.В. Приложения теории симметрических многочленов в школьном курсе математики. // Современный проблемы физико-математических наук. Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Под общей редакцией Т.Н. Можаровой. 2018. С. 17-20. Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2002. —240 с. Виленкин Н.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (углублённый уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 18-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2014. – 312 с. Гольбина Н.М. Факультативное занятие в 9 классе на тему "решение систем уравнений, содержащих симметрические многочлены от х и у" // Современные тенденции в научной деятельности. Сборник материалов XXVII Международной научно-практической конференции. 2017. С. 301-304. Григоренко О.Е., Климашова Е.Б. Симметрические уравнения и способы их решения в 10-х классах общеобразовательной школы. // Актуальные проблемы современного образования. 2012. №13-1. С. 132-136. Дорофеев Г.В. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл. для общеобразовательных учреждений.– М.: Дрофа, 2005. Звавич Л.И. Задачник для 8 класса с углубленным изучением математики. // Л.И. Завич, А.Р. Рязановский. – М.: Мнемозина, 2004. – 279 с. Каазик Ю.Я. Математический словарь. М. : 2007. – 334 с. Карпова Т.Н., Яковлева Е.Е. Методика изучения симметрии в курсе алгебры средней школы. // Математика и информатика, астрономия и физика, экономика и технология и совершенствование их преподавания: материалы международной конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. − Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2015. С. 71-84. Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин; под ред. А.Б. Жижченко. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с. Краснова Г.Г. Решение симметрических систем уравнений. // Актуальные проблемы современного образования. 2012. №13-1. С. 164-168. Краснова Г.Г. Симметрия в современном школьном курсе математики. // Актуальные проблемы современного образования. 2009. №9. С. 188-192. Кузьмичев А.И., Кузьмичева Т.Н. Применение симметрических многочленов в школьном курсе математики. // Математика в школе. 2019. №1. С. 18-25. Ляпустин А.А. Метод решения уравнений высших степеней. // Научно-исследовательская деятельность как фактор личностного и профессионального развития студентов. Сборник материалов III Международной студенческой научно-практической конференции среди образовательных учреждений СПО. Орел, 2019. С. 300-302. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – 11-е изд. – М. : Просвещение, 2019. – 287 с. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 8 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. // Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др. – М. : Мнемозина, 2018. – 352 с. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. // Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков и др. – М. : Мнемозина, 2018. – 400 с. Мирошин В.В. ЕГЭ 2019. Математика : Решение задач / В.В. Мирошин, А.Р. Рязановский. – Москва: Эскмо, 2018. – 496 с. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений/ А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. – 3-е изд. перераб. – М.: Мнемозина, 2008. – 255 с. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 12-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2019. – 224 с. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 частях. Часть 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и углубленный уровни). – М.: Мнемозина, 2014 – 311 с. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов. — М.: Экзамен (Серия "Экзамен"), 1998. — 192с. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 272 с. Танатар И.Я. Геометрические преобразования графиков функций. – М.: МЦНМО, 2012. – 152с. Усманова С.Ф. Симметрические системы уравнений на факультативном занятии в 10 классе. // Актуальные проблемы современного образования. 2009. №9. С. 232-238. Числа и многочлены: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ / Автор-составитель А. В. Деревянкин. — М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008. — 72 с.: ил. Шаронова А.О., Силенко В.Е. Симметрия в алгебре. // Студенческая наука Подмосковью: материалы Международной научной конференции молодых ученых. – ГГТУ, 2016. С. 733-735. Борисова Е.А. Способы решения рациональных уравнений. // Открытый урок. Первое сентября. 15.12.2013. https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/640867/ Виноградова Г.А. Симметрия на уроках алгебры. // Открытый урок. Первое сентября. 30.03.2007. https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/419708/ Гапонова М.А. Урок по теме «Симметрия вокруг нас». 8-й класс. // Открытый урок. Первое сентября. 10.02.2014. https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/641633/ Ерошева Т.В., Захарьева А.К., Михина Т.М. Методические рекомендации по изучению некоторых тем математики. // Открытый урок. Первое сентября. 11.01.2010. https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/641633/ Желтова А.В. Симметрические системы уравнений и системы, содержащие однородные уравнения. // Открытый урок. Первое сентября. 17.03.2008. https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/512536/ Красненкова Л.А. Алгебра и начала анализа. Теорема Безу. 11-й класс. 05.06.2012. https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/617776/ Лодина В.С. Урок алгебры в 10-м классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней» // Открытый урок. Первое сентября. 16.12.2014. https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/651745/ Метод симметричных корней. Задача №18 ЕГЭ. https://www.berdov.com/ege/parametr/metod-simmetrichnih-kornei/ Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Каталог заданий. Симметрия в решениях. https://ege.sdamgia.ru/test?theme=273 Салмина С.И. Урок алгебры и начал анализа. 11 класс «Обобщение и систематизация знаний по теме «Многочлены». // Открытый урок. Первое сентября. 18.01.2010. https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/563153/ Яковлев И.В. Симметрия в задачах с параметрами. http://mathus.ru/math/parameter-symmetry.pdf
