Применение инверсии для определения двойственных свойств кривых второго порядка
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Введение
Под геометрической инверсией понимается особый тип преобразования точек на плоскости, которое имеет существенные отличия от, всем известных со школьного курса геометрии преобразований, таких как симметрия относительно точки или прямой, движение, гомотетия. Инверсию еще называют круговым отражением, потому что данное преобразование в чем-то имеет сходство с отражением от круглого зеркала. Считается, что основоположником этого направления в геометрии был Людвиг Иммануэль Магнус (Ludwig Immanuel Magnus), который в 1831 г. опубликовал статью, в которой дал формальное определение инверсии, как симметрию точек плоскости относительно окружности [1]. Интерес к данному преобразованию вызывает возможность решить сложные задачи с кривыми 3-4 порядка более простым способом – решением соответствующих задач с кривыми второго порядка или с прямыми. Практическая польза инверсионного преобразования в решении задач на построение и доказательство заключается в том, что фигуры, построенные с помощью преобразования инверсии, обладают схожими свойствами со своими прообразами, к тому же инверсия понижает порядок кривых. Объектом курсовой работы является исследование преобразования инверсии при изучении свойств кривых второго порядка и их образов. Предметом данной работы является применение инверсии для нахождения двойственных свойств кривых второго порядка и их образов. Цель работы заключается в получении некоторых свойств лемнискаты Бута, лемнискаты Бернулли, кардиоиды, циссоиды Диоклесса и улитки Паскаля из свойств эллипса, гиперболы и параболы при помощи инверсии, и, наоборот, в получении свойств эллипса, гиперболы и параболы из свойств лемнискат, улитки, кардиоиды и циссоиды. Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд следующих задач: 1. Рассмотреть свойства инверсии. 2. Изучить свойства кривых второго порядка и построить их инверсионные образы. 3. Сформулировать двойственные свойства кривых второго порядка и их инверсионных образов. 4. Обосновать свойства образов кривых второго порядка.
Определение инверсии и правило построения точек симметричных относительно данной окружности
Введем ряд определений. Рассмотрим некоторую плоскость α и точку Aϵα. Пусть известен закон, который ставит точке A в соответствие точку A1 так же принадлежащую плоскости α. Этот закон называется преобразованием плоскости, точку A1 называют образом то...
Свойства инверсии
Рассмотрим основные свойства инверсии. 1. Внутренность круга при инверсии отображается на его внешность, внешность - на внутренность, а каждая точка окружности ω переходит в себя (смотреть формулы (3) и (4)). 2. Все точки окружности инверсии и прямой...
Открыть главуКривые второго порядка и их инверсионные образы
В пункте 1.1 было подробно рассмотрено, как построить инверсные образы простейших фигур. Существуют приборы, с помощью которых можно без всяких вычислений вычертить линию, инверсную любой данной. В 1864 году французским капитаном Поселье был изобрете...
Открыть главуИнверсионные образы гиперболы
Найдем инверсионный образ гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний каждой из которых до данных точек F1 и F2 есть величина постоянная, равная большой оси гиперболы. F1 и F2- фокусы гипер...
Открыть главуДвойственные свойства параболы и циссоиды Диоклеса, кардиоиды
Свойства инверсии позволяют, используя известные свойства одних кривых, формулировать двойственные свойства их инверсионных образов. Рассмотрим с доказательством четыре замечательных свойства параболы, которые наиболее изучены, чем свойства циссоиды ...
Открыть главуДвойственные свойства гиперболы и лемнискаты Бернулли
Докажем основное свойство гиперболы, называемое оптическим, которым обладают все кривые второго порядка. Теорема 5. Прямые, проходящие через фокусы гиперболы F1 и F2, пересекающиеся в точке B, лежащей на гиперболе, образуют с ней в точке B равные угл...
Открыть главуСписок литературы
1. Ануфриенко С.А. Инверсия. Геометрия Мора-Маскерони: учеб. пособие. - Екатеринбург: УрФУ, 2019. – 40 с. 2. Бакельман И.Я. Инверсия: популярные лекции по математике. 44 выпуск. – М: Издательство «Наука», 1966. – 80 с. 3. Геометрические свойства кривых второго порядка: учеб. пособие для учащихся старших классов/ А. В. Акопян, А. А. Заславский. - М: МЦНМО, 2007. - 136 с. 4. Геометрия: учеб. Литература для вузов/ А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. – 2 издание исправленное. – СПБ.: БХВ-Петербург, 2010. – 624 с. 5. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961. – 580 с. 6. Жижилкин И. Д. Инверсия. - М.: Изд-во МЦНМО, 2009. - 72 с. Коростелев Б. В. Инверсии кривых второго порядка как контуры аэродинамических профилей. 7. Маркушевич А.И. Замечательные кривые: популярные лекции по математике. 4 выпуск. – М: Издательство «Наука», 1966. – 382 с. 8. Широков П.А. Избранные работы по геометрии. – Казань: Изд-во Казанского университета, 1966. – 431 с. 9. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: учеб. для вузов/ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - М.: Наука, 1988. -224 с. 10. Яглом И.М. Геометрические преобразования: Линейные и круговые преобразования. Т. 2. – М.: Изд.-во технико-теоретической литературы, 1956. – 153 с. 11. Преобразования объектов в GeoGebra/ Есаян А.Г., Добровольский Н.Н. // Чебышевский сборник. Т.18. – Тула: Вып. 2. - с.129-143.
