Метод инверсии как один из сложных, но и эффективных методов решения задач на построение
Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам,а также
промокод
на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.
Введение
История геометрических построений так же стара, как и сама история математики. Задачи на геометрические построения, являющиеся одними из самых древних математических задач, несомненно, играли огромную роль в возникновении и развитии геометрии как науки. Ещё много веков тому назад в странах Древнего Востока – в Египте, Вавилоне, Индии, Китае, странах ислама, а также в Древней Греции и Древнем Риме, умели выполнять геометрические построения и с успехом применили их для практических целей. По свидетельству древнегреческого учёного Геродота (5-й в. до н. э.), ещё в 2500 – 2300 годах до н. э. египетские фараоны с целью сбора налогов, выполняли деление земель на участки, сначала в виде квадратов, а затем и других форм. Понятно, что во время таких делений неизбежно возникали бы вопросы – «как провести прямую линию?», «как построить прямой угол?» и т.д. Задачи на геометрические построения возникли в основном из практической необходимости, из нужд не только землемерия, но и строительства, архитектуры, техники. Поэтому на ранних этапах развития геометрии такие задачи имели сугубо практическое, прикладное значение. При дальнейшем развитии и формировании геометрии, как науки, задачи на построение приобретают ещё и теоретическое значение. Более того, античная математика вообще была геометрической, геометрия была основой, хребтом древней математики. Ведь и привычная для нас алгебра со своей системой буквенных обозначений, и, тем более, координатная система, введенная Р. Декартом, возникли намного позже. Античные ученые решения уравнений, и даже многие вычисления выполняли с помощью геометрических построений. И порой знания древних учёных и их завоевания в этой области поражают своей глубиной и объёмом. Потом уже, по мере развития математической науки, геометрические построения отодвинулись далеко на задний план. Актуальность темы. По словам известного американского математика и педагога ХХ века, Джордж Пойа, практическая ценность геометрических построений не большая, а теоретическое их значение не велико. Однако в педагогическом и методическом смысле их значение трудно переоценить. Геометрические построения, как пишет он, являются наиболее пригодным средством для освоения путей решения задач. Они развивают способность логического и абстрактного мышления, самостоятельность и предприимчивость, изобретательность, прививают исследовательские и творческие навыки, поэтому и занимают важное место в системе школьного математического образования. Как правило, задачи на построение не имеют стандартного характера и, тем самым, дают возможность освоения математического материала осознанно, неформально. Новые образовательные стандарты (Федеральные государственные образовательные стандарты – ФГОС 2-го поколения) предоставляют большую возможность для внедрения в процессе обучения творческих и исследовательских, а также практических и прикладных элементов. Задачи на построения незаменимы в этом отношении, создают больше таких возможностей. Все сказанное об актуальности преподавания задач на построение в школьном образовании в равной мере (может даже в большей мере) можно отнести и к изучению инверсии в школьной математике. В школьном курсе планиметрии рассматриваются два вида преобразований плоскости: движения и преобразования подобия (гомотетию). И то, и другое являются линейными преобразованиями, т.е. это преобразования, при которых прямые переходят в прямые. Однако, в планиметрии изучаются также преобразования нелинейного характера, когда прямые переходят в кривые и наоборот. Инверсия является представителем таких преобразований, тем самым уже заслуживает иметь свое место в программах школьной геометрии. Включение инверсии в школьную геометрию хотя бы в форме факультативных, внеурочных занятий, в-первых, дает более полные знания о преобразованиях плоскости в планиметрии. Во-вторых, инверсия является мощным инструментом для решения сложных геометрических задач, которые трудно решаются другими методами. В-третьих, инверсия в школьном курсе приоткрывает для школьника, если не дверь, то хотя бы форточку в более сложные и высшие теории, как например, геометрию Лобачевского, комплексный анализ и т.д. Зажигание интереса к математике, - что может быть более актуальной в образовании, чем это… Объект исследования: метод инверсии как один из сложных, но и эффективных методов решения задач на построение. Возможность изучения этого метода в школе. Предмет исследования: изучение применение метода к решению конкретных геометрических задач на построение и доказательство. Цель работы: обобщение, систематизация и углубление знаний и навыков, связанных с конкретным методом решения задач на построение и доказательство с целю их использования в будущей педагогической деятельности. Информационная база курсовой работы: учебно-методическая и научно-популярная литература, массовые издания педагогического и методического характера, интернет-источники, навыки и знания, приобретённые во время учебы и педагогической практики. Курсовая работа состоит из 2 глав, 4 параграфов, введения и заключения.
Инверсия как преобразование плоскости
Латинское слово inversio (обращение, преобразование) впервые появилось в учебниках и пособиях геометрии во второй половине 19-го века. Ввел понятие инверсии и дал ее определение Бобель в 1863 году, в своем труде о полюсах и полярной линии. Инверсия –...
Открыть главуЗаключение
Работа была посвящена инверсии – одному из видов отображения плоскости на себя, которое может переводить окружности в прямые. В этом и ее особенность, и отличие от других видов преобразования плоскости. С одной стороны, это помогает решать «школьные» геометрические задачи, в то же время знакомство с инверсией необходимо для дальнейшего изучения таких разделов математики, как комплексный анализ и геометрия Лобачевского и др. В школьные программы по математике метод инверсии не входит, но как мне кажется, можно его изучить в школе хотя бы в форме факультативных, внеурочных занятий, тем более, что нехватка подходящей учебной литературы для планирования и организации таких занятий, к счастью, нет. Целю работы было обобщение, систематизация и углубление знаний и навыков, связанных с конкретным методом решения задач на построение и доказательство с целю их использования в педагогической деятельности. Можно констатировать, что цель в основном достигнут. Конечно, многие интересные вопросы, связанные с геометрической инверсией, такие, как, например, инверсия в стереометрии, инверсные образы разных кривых и т.д., остались за пределами данной работы. Не коснулись также историческим, классическим задачам Архимеда, Паппа, Аполлония, решаемым этим методом и т.д. Остается надеяться, что эти и другие темы станут предметом творческой работы в дальнейшем и будут использованы в педагогической деятельности в будущем.
Список литературы
Август Адлер. Теория геометрических построений /Перевод с немецкого проф. Г. М. Фихтенгольца/ Издание третье. государственное учебно-педагогическое издательство Наркомпроса РСФСР. Ленинградское отделение.: Л. – 1940. 233. с. Адамар Ж. Элементарная геометрия. - Часть первая, планиметрия.- Государственное учебно-педагогическое издательство. Министерства Просвещения РСФСР.: М. – 1948. 611. С. Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. Издание восемнадцатое. / Под редакцией И. В. Наумович. / Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства Просвещения РСФСР.: М. – 1950. 177. С. Aтaнacян Л. C., Базылев B. T. Геометрия. B 2-x ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. Фак пед. ин-тов.—М.: Просвещение, 1986. -336 с., ил. Атанасян Л. C. и др. Сборник задач по элементарной геометрии. Пособие для пед. ин-тов. Изд.3-е. М., «Просвещение», 1970. 96 с. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических вузов. - М.: Учпедгиз, 1957. - 267 с. Блинков А. Д., Блинков Ю. А. Геометрические задачи на построение. – 2-е изд., стереот. М.: МЦНМО, 2012. 152 с.: ил. Делоне Б., Житомирский О. Задачник по геометрии. Изд. 4-е. Государственное издательство технико-теоретической литературы. – М.-Л.:1949.-305 с. Джордж Пойа. Математическое открытие. Решение задач, основные понятия, изучение и преподавание. М., 1976. 448 стр. с илл. Жижилкин И. Д. Инверсия. —М.: Изд-во МЦНМО, 2009.—72 с. Карагебакян Г. А., Туманян Л. А. Геометрические построения на плоскости. Изд. «Луйс».:Ереван, 1977. 188 с. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?—3-e изд., испр. и доп.—М.: МЦНМО, 2001.—568 с. (с.с. 167 – 173) Маслова Г.Г. методика обучения решению задач на построение. АПН.: М – 1961. - 198 с. Назаретский В. Е., Федин Н. Г., Задачник – практикум по элементарной геометрии.: М. – Просвещение. 1965. 164 с. Перепелкин Д. И. Геометрические построения в средней школе. Издательство Академии педагогических наук РСФСР.:М., Л. – 1947. – 84 с. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т.—Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004.— 312 с.: ил. Фетисов А. И. Геометрия в задачах. Пособие для учащихся школ и классов с углубл. теоретическим и практическим изучением математики. М., «Просвещение», 1977. 192 с. с ил. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвертая, геометрия. Государственное издательство физико-математической литературы.: М.—1963. 160 – 228 с.с. http://www.problems.ru/view_by_source_new.php?parent=107954
