Инверсия как преобразование плоскости

Латинское слово inversio (обращение, преобразование) впервые появилось в учебниках и пособиях геометрии во второй половине 19-го века. Ввел понятие инверсии и дал ее определение Бобель в 1863 году, в своем труде о полюсах и полярной линии.
Инверсия – один из видов преобразования плоскости на себя, наряду с параллельным переносом, симметрий, поворотов и т.д. По сравнению с другими видами преобразования плоскости инверсия менее наглядна, поэтому и изучение, понимание и применение этого метода связаны с определенными трудностями. Однако, несмотря на это, метод инверсии является мощным инструментом в руках умелого математика при решении сложных задач на построение, и не только, особенно таких, в которых речь идёт о многих пересекающихся или касающихся окружностях.
Геометрические преобразования параллельного переноса, симметрий, поворотов переводят прямые в прямые, а окружности в окружности. Инверсия отличается в этом отношении. Это преобразование другого типа, которое также сохранив класс прямых и окружностей, - основных объектов конструктивной геометрии, может прямую перевести в окружность, и наоборот, окружность – в прямую. Этим и другими ее замечательными свойствами объясняются эффективность инверсии при его применении к решению разных геометрических задач.
§ 1.1 Определение инверсии и ее свойства
Определение. Инверсией называется такое преобразование плоскости относительно окружности центром O и радиусом R, при котором каждая точка A плоскости переходит в точку A' такую, что
а) точки O, A и A' лежат на одном луче OA;
б) OA∙OA'=R2.
42062401013460Рис.1.1.
Гиперболическая (а) и эллиптическая (б) инверсия.
 
M
M'
O
M
M'
O
а)
б)
M''
00Рис.1.1.
Гиперболическая (а) и эллиптическая (б) инверсия.
 
M
M'
O
M
M'
O
а)
б)
M''
Окружность (O, R) называется окружностью инверсии, O- центром инверсии, R- радиусом инверсии.
Преобразование инверсии известно также под названием «преобразование обратных радиусов». Такое название объясняется следующим образом. При радиусе инверсии R=1 из определения инверсии получим:
OA∙OA'=12=1,
откуда
OA'=1OA.
Если точка M и ее инверсионный образ M' находятся по одну и ту же сторону от центра O, (рис. 1.1, а), то имеет место т.н. гиперболическая инверсия. Если же точка M' находится на луче, дополняющем луч OM, то инверсия называется эллиптической (рис. 1.1, б).
Очевидно, при эллиптической инверсии
OM∙OM'=-R2.
В изучаемой литературе есть некоторое разнообразие в определении инверсии. Например, в замечательной брошюре [10] Жижилкина проведено четкое различие в определении инверсного образа M' точки M относительно окружности инверсии и инверсивное преобразование плоскости. В первом случае он вводит понятие симметрии относительно окружности, называя точку M' симметричной точке M относительно окружности ω с центром O и радиусом R. Во втором случае только называет инверсионное преобразование плоскости инверсией.
Автор поясняет такое название следующим: «… рассмотрим такую точку A1, что OA1 мало отличается от R, то есть точку, лежащую близко к окружности инверсии. Её образ A2 также лежит недалеко от окружности инверсии, но по другую сторону. Если при этом сделать радиус R очень большим (как говорят, достаточно большим), чтобы видимая часть окружности ω стала весьма похожей на прямую (так же как видимая нами часть земной поверхности весьма похожа на плоскость), то точки A1 и A2 станут «весьма похожи» на точки, симметричные относительно этой «почти прямой»…».
Основные свойства инверсии.
Основные свойства инверсии формулируем в виде теорем и докажем.
Теорема 1. Эллиптическая инверсия получится из гиперболической с помощью одной центральной симметрии относительно центра инверсии.
Действительно, пусть (рис

. 1.1, а) M'- инверсный образ точки M. Тогда
OM∙OM'=R2.
Построим M''=ZO(M'). Тогда OM'=-OM'', следовательно,
OM∙OM'=OM∙-OM''=R2,
откуда
OM∙OM''=-R2,
т.е. действительно получили эллиптическую инверсию.
Теорема 2. Если M' образ точки M относительно окружности радиуса R и центром O, то и обратно – M является инверсионным образом точки M' относительно той же окружности.
Действительно, если M' образ точки M относительно окружности радиуса R и центром O, то OM∙OM'=R2. Отсюда
OM'=R2OM,
или
OM=R2OM'.
Последнее из этих равенств как раз и означает, что M является инверсионным образом точки M' относительно той же окружности.
Теорема 3. Точкам круга инверсии соответствуют точки вне этого круга, и наоборот, каждая внешняя точка имеет свою инверсную точку внутри круга.
Доказательство этого свойства инверсии, см. в построении инверсных точек ниже (случаи 2°,3°).
Теорема 4. Каждой точке окружности инверсии соответствует эта же самая точка.
35585402425065Рис.1.2.
Инверсионный образ прямой, проходящей через центр инверсии.
 
B
B'
C
C'
O
00Рис.1.2.
Инверсионный образ прямой, проходящей через центр инверсии.
 
B
B'
C
C'
O
Доказательство – ниже, случай 1° построения инверсных точек.
Теорема 5. Инверсия инволюционное преобразование, т.е. двойное подряд применение инверсии приведет к тождественному преобразованию.
Справедливость этого свойства непосредственно следует из теоремы 2.
Теорема 6. При инверсии прямая, проходящая через центр инверсии переходит самой себе (рис. 1.2).
35394906185535Рис.1.3.
Инверсионный образ окружности, проходящей через центр инверсии.
 
C
C'
O
S
δ
ω
B
B'
00Рис.1.3.
Инверсионный образ окружности, проходящей через центр инверсии.
 
C
C'
O
S
δ
ω
B
B'
Это свойство следует из п.1 определения инверсии. Действительно, пусть точки B и C – две произвольные точки прямой, проходящей через центр O инверсии. Тогда по определению инверсии, образы B' и C' этих точек также лежат на прямой BC, следовательно, BC≡B'C' .
Теорема 7. Окружность, проходящая через центр инверсии, при инверсионном преобразовании переходит в прямую, параллельную касательной к этой окружности в центре инверсии (рис. 1.3.).
Докажем. Пусть окружность δ с центром S проходит через центр инверсии O. Соединим O с S и продолжим. [OS) пересекается с окружностью δ в точке C. Пусть C'- инверсный образ точки C. На окружности δ берем произвольную точку B и находим инверсный образ B' этой точки. Проведем прямую B'C' и отрезок BC. Получим треугольники OBC и OB'C'. У этих треугольников один общий угол с вершиной O. Кроме того, OB∙OB'=R2 и OC∙OC'=R2. Тогда OB∙OB'=OC∙OC', или
OBOC=OC'OB',
следовательно, эти треугольники подобны. Тогда
∠OBC=90°,
(опирается на диаметр окружности δ).
∠OC'B'=∠OBC=90°,
35871155471160Рис.1.4.
Инверсионный образ прямой, не проходящей через центр инверсии.
 
O
S
ω
00Рис.1.4.
Инверсионный образ прямой, не проходящей через центр инверсии.
 
O
S
ω
т.е. C'B'⊥OC'. Но, т.к. точку B взяли произвольную, то образ любой другой точки окружности δ также будет лежать на прямую C'B'. Что и требовалось доказать.
Теорема 8. Прямая, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, проходящую через центр инверсии, а ее центр лежит на перпендикуляре, опущенном из центра инверсии на данную прямую (рис. 1.4).
Справедливость этого свойства следует из теоремы 7 и обратимости инверсии (теорема 2).
Как следствие последних теорем, отметим следующие свойства.
Теорема 9