Свойства инверсии

Рассмотрим основные свойства инверсии.
1. Внутренность круга при инверсии отображается на его внешность, внешность - на внутренность, а каждая точка окружности ω переходит в себя (смотреть формулы (3) и (4)).
2. Все точки окружности инверсии и прямой, проходящей через ее центр, являются неподвижными (смотреть п.1.1).
3. Докажем следующую теорему.
Теорема 1. Преобразование плоскости, представляющее собой последовательно выполненную дважды одну и ту же инверсию, есть тождественное преобразование.
Доказательство
Пусть точка P1- образ точки P после применения инверсии. Следовательно, для точек P и P1 выполняется формула (1): OP1=R2OP.
P2- образ точки P1 после применения той же самой инверсии, т.е. все три точки P, P1 и P2 лежат на одном и том же луче и для них выполняется формула (1):
OP2=R2OP1=R2R2OP=OP. (7)
Таким образом, точка P и ее образ P2 после дважды примененной к ней инверсии, совпадают, что и требовалось доказать.
4. Преобразование инверсии является конформным, т.е. сохраняет углы в точках пересечения кривых

. При этом, если углы рассматривать как ориентированные, то ориентация углов при применении инверсии изменяется на противоположную.
Докажем следующую теорему.
Теорема 2. При инверсии угол между прямыми равен углу между образами.
Доказательство
1 случай. Обе прямые проходят через центр инверсии. В пункте 1.1 было доказано, что их образы совпадают с исходными прямыми, следовательно, углы между прямыми и их образами остаются прежними.
2 случай. Одна из прямых проходит через центр инверсии, вторая – нет (рис.10)
224790000
Рисунок 10 – Иллюстрация к доказательству теоремы 2 случай 2
Для определенности будем считать, что прямая l1 проходит через центр инверсии - точку O. Тогда при инверсии эта прямая перейдет сама в себя, т.е. образ прямой l'1 совпадает с l1. Поскольку вторая прямая l2 не проходит через центр инверсии, то ее образом, как было доказано в пункте 1.1, будет окружность l'2, проходящая через точку O. Касательная t к окружности l'2 в точке O параллельно прямой l2