Кривые второго порядка и их инверсионные образы

В пункте 1.1 было подробно рассмотрено, как построить инверсные образы простейших фигур. Существуют приборы, с помощью которых можно без всяких вычислений вычертить линию, инверсную любой данной.
В 1864 году французским капитаном Поселье был изобретен первый инверсор. Этот прибор получил известность только через семь лет, когда такой же прибор был изобретен петербургским студентом Липкиным под влиянием идей П. Л. Чебышева.
«Клетка Поселье», как называют этот инверсор, состоит из шести стержней, связанных шарнирами (рис. 12). Четыре из них составляют ромб, остальные - два стержня, равные между собой, но каждый из них длиннее стороны [8].
Рисунок 12 – Инверсор «Клетка Поселье»
Чтобы понять работу устройства, отметим на нем несколько точек: точку B, которая совершает вращательное движение по окружности (красного цвета), в результате чего точка D будет двигаться по прямой (синего цвета). Точка D – инверсный образ точки B относительно центра O с некоторым радиусом r. Таким образом, инверсор Поселье преобразовывает вращательное движение в прямолинейное.
С развитием компьютерной технике было разработано ряд компьютерных программ, которые позволяют без всяких вычислений построить инверсные образы разных фигур.
Как видно из анализа программных продуктов по геометрии [11], среди программ, предназначенных для создания «живых» чертежей и изучения свойств инверсии лучше подходит система динамической геометрии GeoGebra. Это свободно распространяемая среда, которая позволяет создавать Java-апплеты динамических чертежей, дает возможность создания и моделирования инверсных образов различных кривых.
В имеющейся учебной и научно-популярной литературе, посвященной инверсии, обычно рассматриваются инверсионные образы окружностей и прямых

. Однако интересный результат представляет инверсия кривых второго порядка. Образами кривых второго порядка (равносторонней гиперболы, параболы, эллипса) при различном расположении центра инверсии являются замечательные кривые, такие как строфоида, циссоида Диоклеса, улитка Паскаля, кардиоида, лемниската Бернулли. Вычертить названные кривые с помощью чертежных инструментов довольно трудоемкий процесс. В GeoGebra имеется стандартный инструмент преобразования инверсии (Отражение относительно окружности), что позволяет существенно оптимизировать время решения соответствующих задач.Рассмотрим процесс построение инверсионных образов в программе GeoGebra. Построим инверсионную окружность с центром в начале координат произвольного радиуса, используя инструмент Окружность по центру и точке. Построим параболу, Для того чтобы было можно быстро изменять исходные данные задачной конфигурации, зададим кривую второго порядка ее общим уравнением (1-ε2)x2-2px+y22= 0 для изменяющихся параметров p и ε. В GeoGebra выберем точки ε на оси абсцисс и p на оси ординат.
Далее введем конику k командой (1 − x(ε)^2) ∗ x^2 − 2y(p) ∗ x + y^2 = 0. Зададим инверсный образ коники с помощью инструмента Отражение относительно окружности. Реализуется преобразование при щелчке сначала по объекту A (параболе), а затем по окружности. Меняя положения точек ε, p, будем изменять конику, меняя положение точек O, B, изменим окружность инверсии. Результат приведен на рисунке 13. Таким образом, мы можем исследовать, как влияет положение вершины параболы на ее инверсионный образ.
Рисунок 13 – Инверсионный образ параболы, реализованный в среде GeoGebra
На рисунке 14 изображен инверсионный образ гиперболы, а на рисунке 15 – эллипса.
Рисунок 14 – Инверсионный образ гиперболы, реализованный в среде GeoGebra
Рисунок 15 – Инверсионный образ гиперболы, реализованный в среде GeoGebra
В следующем пункте математически обоснуем полученные в GeoGebra результаты.
2.2