Выясните взаимное расположение плоскости x+y-z-2=0 и прямых:
а) x=3t, y=1+2t, z=7t
б) x-53=y+42=z-17
в) x=2t+5, y=7t-1, z=3t
В случае пересечения найдите общую точку.
Ответ
а) прямая dа пересекается плоскость α в точке Q1-32;0;-72;
б) прямая dб пересекается плоскость α в точке Q22;-6;-6
в) прямая dв пересекается плоскость α в точке Q3133;-103;-1
Решение
Рассмотрим плоскость α: Ax+By+Cz+D=0 и прямую d, заданную точкой M0x0;y0;z0 и направляющим вектором pp1;p2;p3.
Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:
1) прямая d пересекает плоскость α в некоторой точке M: M=d∩α, если направляющий вектор прямой не ортогонален вектору нормали n(A;B;C) плоскости. Т.е. скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: n*p≠0 или Ap1+Bp2+Cp3≠0
2) прямая параллельна плоскости: d||α, если точка M0x0;y0;z0 (и любая точка данной прямой) не удовлетворяет уравнению плоскости. Т.е. условие параллельности прямой и плоскости записывается системой: Ap1+Bp2+Cp3=0Ax0+By0+Cz0+D≠0
3) прямая лежит в плоскости: d∈α, если точка M0x0;y0;z0 (и любая точка данной прямой) удовлетворяет уравнению плоскости. Т.е. условие записывается системой: Ap1+Bp2+Cp3=0Ax0+By0+Cz0+D=0
Вектор нормали плоскости α: Ax+By+Cz+D=0 →n1;1;-1
Теперь рассмотрим прямые из условия.
а) направляющий вектор прямой dа: x=3ty=1+2tz=7t→pа3;2;7, точка M010;1;0
Проверим, пересекается ли плоскость с прямой.
Ap1+Bp2+Cp3≠0
1*3+1*2+-1*7=3+2-7=-2≠0
Значит, прямая пересекает плоскость в некоторой точке Q1x1;y1;z1.
Точка Q1 принадлежит прямой dа: x=3ty=1+2tz=7t, поэтому ее координаты x1;y1;z1 при некотором значении параметра t1 удовлетворяют параметрическим уравнениям:
Q1: x1=3t1y1=1+2t1z1=7t1или Q13t1;1+2t1;7t1
Также точка Q1 принадлежит плоскости, значит координаты точки должны удовлетворять уравнению плоскости 1*x+1*y-1*z-2=0
Подставим значения точки в уравнение плоскости.
1*3t1+1*1+2t1-1*7t1-2=0
3t1+1+2t1-7t1-2=0
-2t1-1=0; →t1=-12
→Q1-32;0;-72
б) направляющий вектор прямой dб:x-53=y+42=z-17→pб3;2;7, точка M025;-4;1
Проверим, пересекается ли плоскость с прямой.
Ap1+Bp2+Cp3≠0
1*3+1*2+-1*7=3+2-7=-2≠0
Значит, прямая пересекает плоскость в некоторой точке Q2x2;y2;z2.
Для удобства перепишем уравнение в параметрической форме.
x-53=y+42=z-17→x=3t+5y=2t-4z=7t+1
Точка Q2 принадлежит прямой dб:x=3t+5y=2t-4z=7t+1, поэтому ее координаты x2;y2;z2 при некотором значении параметра t2 удовлетворяют параметрическим уравнениям:
Q2:x2=3t2+5y2=2t2-4z2=7t2+1 или Q23t2+5;2t2-4;7t2+1
Также точка Q2 принадлежит плоскости, значит координаты точки должны удовлетворять уравнению плоскости 1*x+1*y-1*z-2=0
Подставим значения точки в уравнение плоскости.
1*3t2+5+1*2t2-4-1*7t2+1-2=0
3t2+5+2t2-4-7t2-1-2=0
-2t2-2=0; →t2=-1
→Q22;-6;-6
в) направляющий вектор прямой dв: x=2t+5y=7t-1z=3t→pв2;7;3, точка M035;-1;0
Проверим, пересекается ли плоскость с прямой.
Ap1+Bp2+Cp3≠0
1*2+1*7+-1*3=2+7-3=6≠0
Значит, прямая пересекает плоскость в некоторой точке Q3x3;y3;z3.
Точка Q3 принадлежит прямой dв: x=2t+5y=7t-1z=3t, поэтому ее координаты x3;y3;z3 при некотором значении параметра t3 удовлетворяют параметрическим уравнениям:
Q3: x3=2t3+5y3=7t3-1z3=3t3или Q32t3+5;7t3-1;3t3
Также точка Q3 принадлежит плоскости, значит координаты точки должны удовлетворять уравнению плоскости 1*x+1*y-1*z-2=0
Подставим значения точки в уравнение плоскости.
1*2t3+5+1*7t3-1-1*3t3-2=0
2t3+5+7t3-1-3t3-2=0
6t3+2=0; →t3=-13
→Q3133;-103;-1
Ответ:
а) прямая dа пересекается плоскость α в точке Q1-32;0;-72;
б) прямая dб пересекается плоскость α в точке Q22;-6;-6
в) прямая dв пересекается плоскость α в точке Q3133;-103;-1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
