Выходной параметр устройства f зависит от его внутренних параметров xj и задан соотношением

Вычислим функцию чувствительности Aj:
Aj=∂y∂xjxj=xjном j=1…n
A1=b1b3x3+b4x4=24∙x3+5∙x4x3=1,25x4=1,5=24∙1,25+5∙1,5=0,160;
A2=b2b3x3+b4x4=34∙x3+5∙x4x3=1,25x4=1,5=34∙1,25+5∙1,5=0,240;
A3=-b3∙b1x1+b2x2b3x3+b4x42=-4∙2∙x1+3∙x24∙x3+5∙x42x1=0,75x2=1x3=1,25x4=1,5=-4∙2∙0,75+3∙14∙1,25+5∙1,52=-0,115;
A4=-b4∙b1x1+b2x2b3x3+b4x42=-5∙2∙x1+3∙x24∙x3+5∙x42x1=0,75x2=1x3=1,25x4=1,5=-5∙2∙0,75+3∙14∙1,25+5∙1,52=-0,144.
Ajj=∂2y∂xj2xj=xjном j=1…n
A11=0;
A22=0;
A33=2b32∙b1x1+b2x2b3x3+b4x43=2∙42∙2∙x1+3∙x24∙x3+5∙x43x1=0,75x2=1x3=1,25x4=1,5=2∙42∙2∙0,75+3∙14∙1,25+5∙1,53=0,074;
A44=2b42∙b1x1+b2x2b3x3+b4x43=2∙52∙2∙x1+3∙x24∙x3+5∙x43x1=0,75x2=1x3=1,25x4=1,5=2∙52∙2∙0,75+3∙14∙1,25+5∙1,53=0,115;
Ajk=∂2y∂xj∙∂xkxj=xjномxk=xkном j=1…n, k=1…n, k≠n
A13=-b3∙b1b3x3+b4x42=-4∙24∙x3+5∙x42x3=1,25x4=1,5=-4∙24∙1,25+5∙1,52=-0,051;
A24=-b4∙b2b3x3+b4x42=-5∙34∙x3+5∙x42x3=1,25x4=1,5=-5∙34∙1,25+5∙1,52=-0,096.
Вычислим математическое ожидание M(y) и дисперсию D(y) выходных параметров.
My=fx1ном, …, xnном+∆;
∆=12j=1nk=jnAjkRjkσxjσxk+12j=1nAjjDxj j≠k, где второе слагаемое учитывает нелинейность функции.
Dy=j=1nAj2Dxj+j=1nk=jnAjAkRjkσxjσxk.
Таблица №2
Сводная таблица для вычислений M(y) и D(y)
Mxj
σxjMxj
σxj
Dxj
R13
R24
Aj
Ajj
A13
A24
0,75 0,3 0,225 0,0506 0,4 1,75 0,160 0 -0,051 -0,096
1 0,3 0,300 0,0900 0,4 1,75 0,240 0 -0,051 -0,096
1,25 0,3 0,375 0,1406 0,4 1,75 -0,115 0,074 -0,051 -0,096
1,5 0,3 0,450 0,2025 0,4 1,75 -0,144 0,115 -0,051 -0,096
∆=12A13R13σx1σx3+A24R24σx2σx4+12A11Dx1+A22Dx2+A33Dx3+A44Dx4
∆=12-0,051∙0,4∙0,225∙0,375-0,096∙1,75∙0,300∙0,450+
+120∙0,0506+0∙0,0900+0,074∙0,1406+0,115∙0,2025=0,0046
My=fx1ном, …, xnном+∆=b1x1+b2x2b3x3+b4x4+∆=2∙0,75+3∙14∙1,25+5∙1,5+0,0046=0,365;
Dy=A12Dx1+A22Dx2+A32Dx3+A42Dx4+A1A3R13σx1σx3+A2A4R24σx2σx4;
Dy=0,1602∙0,0506+0,2402∙0,0900+-0,1152∙0,1406+-0,1442∙0,2025+
+0,160∙-0,115∙0,4∙0,225∙0,375+0,240∙-0,144∙1,75∙0,300∙0,450=0,0038;
Вычислим ∆yпред двумя способами
∆yпред=j=1nAj∆xj пред
∆xj пред=3σxj
Таблица №3
Вычисление ∆yпред
Mxj
σxjMxj
σxj
∆xj пред
Aj
Aj∆xj пред
0,75 0,3 0,225 0,68 0,160 0,1080
1 0,3 0,300 0,90 0,240 0,2160
1,25 0,3 0,375 1,13 -0,115 - 0,1294
1,5 0,3 0,450 1,35 -0,144 - 0,1944
∆y пред=3∙σy=3Dy=30,0038=0,185
Вероятность нахождения выходного параметра y в интервале ymin; ymax.
ymax=My+∆y max ymin=My-∆y min
∆y max=i=1mAi∆xi пред+k=m+1nAk-∆xk пред
∆ymin=i=1mAi-∆xi пред+k=m+1nAk∆xk пред
где Ai>0, Ak<0.
∆y max=A1∙∆x1 пред+A2∙∆x2 пред+A3∙-∆x3 пред+A4∙-∆x4 пред=
=0,160∙0,68+0,240∙0,90+-0,115∙-1,13+-0,144∙-1,35=0,649;
∆y min=A1∙-∆x1 пред+A2∙-∆x2 пред+A3∙∆x3 пред+A4∙∆x4 пред=
=0,160∙-0,68+0,240∙-0,90+-0,115∙1,13+-0,144∙1,35=-0,649.
Pymin≤y≤ymax=Фymax-M(y)σ(y)-Фymin-M(y)σ(y)
Pymin≤y≤ymax=Ф0,649-0,3650,062-Ф-0,649-0,3650,062=Ф0,2840,062-Ф-1,0140,062==Ф4,6+Ф16,4=0,49+0,49=0,98
Вывод: в процессе выполнения данного задания были получены количественные оценки точности: функцию чувствительности - A1=0,160; A2=0240; A3=-0,115; A4=-0,144; A11=0; A22=0; A33=0,074; A44=0,115; A13=-0,051; A24=-0,096, математическое ожидание - My=0,365, дисперсию - Dy=0,0038 и ∆y пред=0,185, и вероятность нахождения выходного параметра y в интервале - P-0,648≤y≤0,648=0,98.