Вычислить определитель матрицы А разложив его по элементам i – ой строки

А) разложив его по элементам1– ой строки;
4-11502-2334124114=
=42-23412114+10-23312414+1023342414-502-2341411=
=48-4+12-3-4+32+10-16+9-12-0+24+10+16+9-48-24
-58-6+32-6=4∙(52-11)+1(33-28)+1(-47)-5(40-12)=
=4∙41+5-47-5∙28=164+5-47-140=29-47=-18
б) разложив его по элементам 1– ого столбца
4-11502-2334124114=42-23412114-0-115412114+3-1152-23114-4-1152-23412=
=48-4+12-3-4+32+38+3+10+10+3-8-44+12+10+40+3-4=
=4∙41+3∙26-4∙65=164+78-260=242-260=-18
в) используя метод эффективного понижения порядка
4-11502-2334124114
Буквами r станем обозначать строки: r1 – первая строка, r2 – вторая строка и так далее.
Выбираем третий столбец.
Итак, столбец выбран . В этом столбце выбираем один ненулевой элемент. В столбце №3 можно выбрать любой элемент, но лучше всего на роль "избранного" элемента подойдёт единица. Цель: сделать так, чтобы все элементы третьего столбца (кроме избранного) стали равны нулю. Избранный элемент, который будем использовать для обнуления остальных, выделен красным цветом. Остальные элементы, которые подлежат обнулению, для наглядности выделены иными цветами:
Преобразуем столбец №3, выполнив со строками такие операции:
r1-11r3=r1-r3
r2--21r3=r2+2r3
r4-11r3=r4-r3
r1-r3=4;-1;1;5-3;4;1;2=(1;-5;0;3)
r2+2r3=0;2;-2;3+23;4;1;2=(6;10;0;7)
r4-r3=4;1;1;4-3;4;1;2=(1;-3;0;2)
4-11502-2334124114=1-5036100734121-302
Разложим полученный нами определитель по третьему столбцу.
В общем виде для определителя четвёртого порядка разложение по третьему столбцу будет таким:
∆=a13A13+a23A3+a33A33+a43A43
Однако у нас в третьем столбце, a13=0,a23=0,a33=1,a43=0 поэтому:
∆=a13A13+a23A3+a33A33+a43A43=0∙A13+0∙A23+1∙A33+0∙A43=A33
Так как A33=(-1)61-5361071-32=1-5361071-32
r1-11r3=r1-r3
r2-61r3=r2-6r3
r1-r3=1;-5;3-1;-3;2=(0;-2;1)
r2-6r3=6;10;7-61;-3;2=(0;28;-5)
Разложим полученный нами определитель по элементам первого столбца