Вычислить объём тела ограниченного указанными поверхностями

Объем тела численно равен тройному интегралу, взятому по области, ограниченной заданными поверхностями:
V=D dxdydz
Т.к. тело представляет собой часть цилиндра, ограниченного снизу плоскость z=0, а сверху – плоскостью z=1-x-y, то перейдем в цилиндрические координаты:
Переходим в цилиндрические координаты:
x=ρcosφy=ρsinφz=z;x2+y2=ρ2;dxdydz=ρdzdρdφ
Преобразуем уравнения поверхностей:
x2+y2=9 ρ2=9 ρ=3
z=1-x-y z=1-ρ(cosφ+sinφ)
Тогда область интегрирования:
D=ρ,φ,z:0≤φ≤2π0≤ρ≤30≤z≤1-ρ(cosφ+sinφ)
Переходим от тройного интеграла к повторному и находим объем:
V=02πdφ03ρdρ01-ρ(cosφ+sinφ)dz=02πdφ03ρ-ρ2(cosφ+sinφ)dρ=
=02πρ22-ρ33(cosφ+sinφ)03dφ=02π92-9(cosφ+sinφ)dφ=
=92φ-9sinφ-cosφ02π=9πед