Векторы заданы своими координатами в каноническом базисе {}

Согласно теореме (критерий базиса в Rn), система векторов образует базис, тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат векторов, отличен от нуля. Вычислим этот определитель:
∆=321231213=27+4+2-6-3-12=33-21=12≠0
Следовательно, система векторов образует базис в пространстве R3 . Матрица перехода от канонического базиса к базису
состоит из координат векторов в базисе записанных в соответствующие столбцы, и имеет вид
Разложение вектора по базису ищем в виде:
Это векторное равенство эквивалентно системе уравнений:
3x1+2x2+x3=52x1+3x2+x3=12x1+x2+3x3=11
Поскольку определитель этой системы отличен от нуля, используем для её решения формулы Крамера:
∆1=5211311113=5∙3113-2∙11113+1∙13111=
=59-1-23-11+11-33=40+16-32=24
∆2=3512112113=3∙11113-5∙2123+1∙21211
=33-11-56-2+122-2=-24-20+20=-24
∆3=3252312111=3∙31111-2∙11111-5∙2321=
=333-1-211-1-52-6=96-20+20=96
x1=∆1∆=2412=2;x2=∆2∆=-2412=-2;x3=∆3∆=9612=8
Таким образом, разложение вектора по базису имеет вид:
x=2a1-2a2+8a3