В таблице приведен статистический ряд распределения случайной величины Х

А) Выборочное среднее вычислим по формуле x=1ni=1nxi∙ni
Таблица 1
xi 19,80-19,82 19,82-19,84 19,84-19,86 19,86-19,88 19,88-19,90
Середины интервалов, xi 19,81 19,83 19,85 19,87 19,99
Частоты,ni
6 13 15 11 5
x=19,81∙6+19,83∙13+19,85∙15+19,87∙11+19,89∙550=118,86+257,79+297,75+218,57+99,4550=992,4250=19,84
Для вычисления остальных числовых характеристик выборки предварительно вычислим центральные эмпирические моменты 2, 3 и 4 порядков:
μk=ni(xi-x)kn(k=2,3,4)
Результаты представлены в таблице
Таблица 2
317524828500
Имеем
выборочная дисперсия S2=μ2=0,000544;
выборочное среднее квадратическое отклонение σ=S2=0,000544 ≈0,02332;
выборочный коэффициент ассиметрии А*=n3σ3=0,0000016(0,02332)3≈0,1261;
выборочный коэффициент эксцесса Е*=n4σ4-3=0,0000006(0,02332)4-3≈-0,8373;
выборочный коэффициент вариации V=σx∙100%=0,0233219,84∙100%≈0,1175.
б) Проведем детальную проверку гипотезы о распределении СВ X по нормальному закону с помощью критерия согласия ᵪ2 . Для этого пронормируем частичные интервалы, выразив их в единицах среднего квадратического отклонения s :
ui=xi*-xs,
причем наименьшее значение ui положим равным − , наибольшее — + (см . столбец 3 табл. 3).Заметим, что так определённая СВ U является случайной величиной, распределённой по нормальному закону с параметрами α= 0; σ=1.
Таблица 3
Частичные интервалы Частоты, ni
Нормированные интервалы, (ui,ui+1) Теоретические вероятности, pi Теоретические частоты, n*pi (ni-npi)2 (ni-npi)2npi
19,8-19,82 6 (-∞; -1,29) 0,0985 4,9 1,16
0,23
19,82-19,84 13 (-1,29; -0,44) 0,2351 11,8 1,55 0,13
19,84-19,86 15 (-0,44; 0,41) 0,3328 16,6 2,69 0,16
19,86-19,88 11 (0,41; 1,26) 0,2351 11,8 0,57 0,05
19,88-19,90 5 (1,26; +∞) 0,0985 4,9 0,01 0,00
Суммы 50
1,000 50,0
ᵪн2=0,58
Далее вычисляем теоретические вероятности — вероятности попадания СВ X , распределенной по нормальному закону с параметрами α= 19,85; = 0,023 в частичные интервалы xi, *xi+1* по формуле
pi=P(xi*<X<xi+1*=Фui+1-Фui,
где
ui=xi*-xs,
2507606106000
(значение функции Лапласа приведенные в таблице).
Вероятность, того, что СВ X попадает в первый частичный нормированный интервал (-∞<x<19,82)равна
p1=P-∞<X<19,82=Ф19,82-19,850,02332-Ф-∞-19,850,02332=Ф-1,29-Ф-∞=-Ф1,29+Ф∞=-0,4015+0,5=0,0985
p2=P19,82<X<19,84=Ф19,84-19,850,02332-Ф19,82-19,850,02332=Ф-0,43-Ф-1,29=-Ф0,43+Ф1,29=-0,1664+0,4015=0,2315
p3=P19,84<X<19,86=Ф19,86-19,850,02332-Ф19,84-19,850,02332=Ф0,43+Ф0,43=0,1664+0,1664=0,3328
p4=P19,86<X<19,88=Ф19,88-19,850,02332-Ф19,86-19,850,02332=Ф1,29-Ф0,43=0,4015-0,1664=0,2351
p5=P19,88<X<∞=Ф∞-19,850,02332-Ф19,88-19,850,02332=Ф∞-Ф1,29=0,5-0,4015=0,0985
Вычисляем теоретические частоты нормального закона распределения ni'=npi (столбец 5 табл.3) и наблюдаемое значение критерия ᵪ2:
ᵪн2=(n1-npi)2npi,
где ni –эмпирические частоты, npi – теоретические частоты.
В результате вычислений получаем ᵪн2=0,58 (столбец 7 табл.3).
По таблицам квантилей распределения ᵪн2 найдем критические значения ᵪкр=2ᵪα;ᵥ2, где α= 1 –γ - уровень значимости, ν=k-r-1-число степеней свободы, α=0,05, k=5, r=2, следовательно
ν=5-2-1=2