В задачах даны значения признака X, полученные в результате выборочного обследования совокупности

1) построить интервальный вариационный ряд частот с равными интервалами выбрав число интервалов 8 или 9
Составим интервальное выборочное распределение (интервальный вариационный ряд). Для этого, прежде всего, отметим, что у нас xmin =62, xmax =78, а размах выборочных значений
R =xmax-xmin=78-62=16
Теперь определим длину каждого частичного интервала (иногда их называют классовыми интервалами), воспользовавшись формулой:
l=R8=168=2
Далее устанавливаем границы частичных интервалов: левую границу первого интервала принимаем равной x0=xmin =62, далее x1=x0+l=62+2=64;x2=66;x3=68; x4=70;x5=72;x6=74;x7=76;x8=78
На этом указанная процедура заканчивается, т.к. последующие частичные интервалы не будут содержать выборочных значений признака.
Приступаем к распределению по частичным интервалам выборочных значений признака, ставя в соответствие интервалу с номером i частоту ni как число выборочных значений признака, попавших в интервал. При этом договоримся, что если некоторое из выборочных значений совпадет с границей двух соседних интервалов, то будем относить его к предыдущему из них. В итоге реализации данных рекомендаций получим таблицу 2, в первых двух столбцах которой разместим искомое интервальное распределение выборки, в третьем − относительные частоты wi=nin, а в последнем четвертом − плотности распределения относительных частот на частичных интервалах:
pi =wil
Таблица 2
xi-1;xi
ni
wi
pi
[62; 64] 4 0,08 0,03
(64; 66]
5 0,1 0,03
(66; 68]
6 0,12 0,04
(68; 70]
7 0,14 0,05
(70;72]
10 0,2 0,07
(72; 74] 8 0,16 0,05
(74; 76]
6 0,12 0,04
(76; 78]
4 0,08 0,03
Σ 50 1 0,33
2) построим гистограмму частот
3) построить дискретный вариационный ряд, соответствующий данному интервальному
Нередко от интервального распределения выборки бывает удобно перейти к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов . В рассматриваемой задаче такое распределение, очевидно, имеет вид следующей таблицы 3:
Таблица 3
xi
63 65 67 69 71 73 75 77
ni
4 5 6 7 10 8 6 4
nxn
0,08 0,1 0,12 0,14 0,2 0,16 0,12 0,08
Накопленные частоты 0,08 0,18 0,3 0,44 0,64 0,8 0,92 1
4) найти эмпирическую функцию распределения по дискретному ряду
Для точечного распределения выборки может быть получена эмпирическая функция распределения F*x, которая является статистической оценкой функции распределения вероятностей признака X (интегрального закона распределения) и строится по формуле:
F*x=nxn
где n − объем выборки, а nx − сумма частот выборочных значений признака, которые меньше x.
В нашей задаче, очевидно,
F*x=0 при x<630.08 при 63<x≤650.18 при 65<x≤670.3 при 67<x≤690.44 при 69<x≤710.64 при 71<x≤730.8 при 73<x≤750.92 при 75<x≤771 при x>77
5) построим график эмпирической функции распределния
6) вычислим выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднеквадратическое отклонение
Для вычисления числовых характеристик составим вспомогательную таблицу:
Интервалы ni
Середина интервалов, xi
xi*ni
xi-x2*ni
[62; 64] 4 63 252 211,994
(64; 66]
5 65 325 139,392
(66; 68]
6 67 402 64,5504
(68; 70]
7 69 483 11,4688
(70;72]
10 71 710 5,184
(72; 74] 8 73 584 59,1872
(74; 76]
6 75 450 133,67
(76; 78]
4 77 308 180,634
50   3514 806,08
Выборочная средняя
x=1nxini=351450=70.28
Выборочная дисперсия:
D=1nxi-x2*ni=70.2850=16.12.16
Выборочное среднеквадратическое отклонение
σ=D=16.1216≈4.015
7) 8) Проверим гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины X