В таблице даны статистические данные о расходах на питание

Матрица парных коэффициентов корреляции R.
Число наблюдений n = 7. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (7 х 4).
Матрица A, составленная из Y и X
1 431 606 1.65
1 621 1510 2.3
1 860 2570 2.85
1 1070 3580 3.5
1 1315 4595 3.65
1 1363 5850 3.9
1 1515 7060 4.15
Транспонированная матрица.
1 1 1 1 1 1 1
431 621 860 1070 1315 1363 1515
606 1510 2570 3580 4595 5850 7060
1.65 2.3 2.85 3.5 3.65 3.9 4.15
Матрица XTX.
7 7175 25771 22
7175 8338121 31951571 24738.15
25771 31951571 127248761 93213.15
22 24738.15 93213.15 74.14
Полученная матрица имеет следующее соответствие:
∑n ∑y ∑x1 ∑x2
∑y ∑y2 ∑x1 y ∑x2 y
∑x1 ∑yx1 ∑x1 2 ∑x2 x1
∑x2 ∑yx2 ∑x1 x2 ∑x2 2
Таблица 3.1 – Расчет средних величин
Признаки x и y ∑xi ∑yi ∑xi*yi
Для y и x1 25771 3681.571 7175 1025 31951571 4564510.143
Для y и x2 22 3.143 7175 1025 24738.15 3534.021
Для x1 и x2 22 3.143 25771 3681.571 93213.15 13316.164
Таблица 3.2 – Дисперсии и среднеквадратические отклонения
Признаки x и y
Для y и x1 4624426.245 140535.143 2150.448 374.88
Для y и x2 0.714 140535.143 0.845 374.88
Для x1 и x2 0.714 4624426.245 0.845 2150.448
Найдем парные коэффициенты корреляции по формуле:
ryx1 = 4564510.143-3681.571*10252150.448*374.88=0.981
ryx2 = 3534.021-3.143*10250.845*374.88=0.987
rx1x2 = 13316.164-3.143*3681.5710.845*2150.448=0.961
Матрица парных коэффициентов корреляции R принимает вид:
- y x1 x2
y 1 0.9811 0.9869
x1 0.9811 1 0.9607
x2 0.9869 0.9607 1
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии . Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения: s = (XTX)-1XTYК матрице с переменными Xj добавляем единичный столбец:
1 606 1.65
1 1510 2.3
1 2570 2.85
1 3580 3.5
1 4595 3.65
1 5850 3.9
1 7060 4.15
Матрица Y
431
621
860
1070
1315
1363
1515
Матрица XT
1 1 1 1 1 1 1
606 1510 2570 3580 4595 5850 7060
1.65 2.3 2.85 3.5 3.65 3.9 4.15
Умножаем матрицы, (XTX)
XT X = 7 25771 22
25771 127248761 93213,15
22 93213,15 74,14
В матрице, (XTX) число 7, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X.
Умножаем матрицы, (XTY)
XT Y = 7175
31951571
24738,15
Находим обратную матрицу (XTX)-1
(XT X) -1 = 8,542 0,0016 -4,552
0,0016 0 -0,00098
-4,552 -0,00098 2,596
Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
Y(X) = 8,542 0,0016 -4,552
0,0016 0 -0,00098
-4,552 -0,00098 2,596
* 7175
31951571
24738,15
= -52,756
0,046
255,742
Уравнение регрессии принимает вид:
Y = -52,76 + 0,05X1 + 255,74X2
Определим частные коэффициенты корреляции по формулам:
ryx1/x2 = 0.981-0.987*0.961(1-0.9872)*(1-0.9612)=0.736
Теснота связи сильная.
ryx2/x1 = 0.987-0.981*0.961(1-0.9812)*(1-0.9612)=0.826
Теснота связи сильная.
rx1x2/y = 0.961-0.981*0.987(1-0.9812)*(1-0.9872)=-0.241
Теснота связи низкая