Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε=12, фокус F(-4;1) и уравнение соответствующей директрисы y+3=0

По определению, отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса (фокальный радиус) к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы равно эксцентриситету эллипса:
rd=ε . (1)
r=x-xF2+y-yF2=x+42+y-12;
d=y+3.
Поскольку весь эллипс лежит по ту же сторону от директрисы, что и фокус (см. рис.), то:
d=y+3.
Подставляя значения r, d и ε в (1) находим искомое уравнение эллипса:
x+42+y-12y+3=12;
2x+42+y-12=y+3;
4x+42+y-12=y+32;
4x+42+4y2-8y+4=y2+6y+9;
4x+42+3y2-14y=5;
4x+42+3y-732-493=5;
4x+42+3y-732=643;
12x+42+9y-732=64;
1264x+42+964y-732=1;
x+42163+y-732649=1;
x+42432+y-732832=1.
Ответ: x+42432+y-732832=1.