СМО многоканальная с неограниченной очередью

1. Запишем состояния СМО:
S0 – СМО свободна, составов на сортировочной горке нет;
S1 – одна из сортировочных горок занята, очереди нет;
S2 – заняты две сортировочные горки, очереди нет;
S3 – заняты все две сортировочные горки, причем один состав в очереди;
……………………………………………
Sn+r – две горки n=2 заняты обслуживанием состава, r составов в очереди и так далее.
Теоретически число состояний не ограничено (бесконечно).
Граф состояний примет вид:
2. Из условия задачи известно, что интенсивность потока равна λ=110 составовчас, а среднее время обслуживания tобсл.=13 мин=1360 час.
Тогда параметры системы
μ=1tобсл.=11360≈6013 1час;
ρ=λμ=λ∙tобсл.=110∙1360=11∙136=1436>1
Так как ρn=14362=14312>1, то предельные вероятности не существуют, очередь растет бесконечно.
Вероятность того, что в узле разгрузки будет очередь равна:
Pоч=143632!∙2-1436∙0,1=-31,003
Среднее число автомашин, находящихся в очереди, равно
Lоч=nn-ρ∙Pоч=22-1436∙-31,003≈2,84 (составов)
Среднее число автомашин в системе
Lсист=Lоч+ρ=2,84+1436≈26,67 (составов)
Среднее время пребывания автомашины в очереди и среднее время пребывания автомашины в системе находим по формулам Литтла и в итоге имеем:
Tоч=1λ∙Lоч=1110∙2,84≈0,025818 час
Tсист=1λ∙Lсист=1110∙26,67≈0,242485 час
Коэффициент занятых обслуживанием кранов вычисляется по следующей формуле:
k=ρn=14362=14312≈11,92
3 . Нас будут интересовать те состояния, при которых составы попадают на внешний путь:
S5 – один состав на горке, три в очереди на запасных путях станции, один на внешних путях;
S6 – один на горке, три на запасных путях, два на внешних путях и так далее.
Вычислим стационарные вероятности состояний СМО:
λ=110 составовчас; tобсл.=1360 час.; μ=6013 1час;
ρ=2∙1360=1330=0,43 ρ0=1-ρ=1-0,43=0,57
Вероятности состояний системы Si находим по формуле
pi=p0ρii!, где i=1, 2, 3, 4.
Тогда
p1=p0ρ11!=0,57∙0,4311!=0,2451;
p2=p0ρ22!=0,57∙0,4322=0,0526965;
p3=p0ρ33!=0,57∙0,4336=0,007553165;
p4=p0ρ44!=0,57∙0,43424=0,000811965.
Теперь найдем вероятность того, что прибывающий состав попадает на внешний путь
pA=p4+p5+p6+p7+…=ρ1-ρ1+ρ+ρ2+…=ρ41-ρ1-ρ=ρ4
pA=ρ4=0,434=0,03418801
Таким образом, в 3,42 % случаев состав попадает на внешний путь.
Вычислим коэффициенты эффективности работы горки.
Среднее число составов в очереди
rО=ρ21-ρ=0,4321-0,43≈0,331372549 состава
Среднее время пребывания состава в очереди на обслуживание
tО=ρ2λ∙1-ρ=0,432110∙1-0,43≈0,002948963 часа=0,176937799 мин
Среднее число составов обслуживаемых или ожидающих очереди
zсист=ρ1-ρ=0,431-0,43=4357≈0,764705882
Время нахождения состава в приемно-отправочном парке
tсист=zсистλ=4357110=0,006858054 часа=0,411483254 мин
Таким образом, составу приходится более 0,2 минут стоять в очереди.
Вычислим среднее время ожидания на внешних путях