Случайная точка с координатами равномерно распределена внутри круга радиуса R с центром в начале координат

Площадь круга равна πR2. Поскольку распределение равномерное, то совместная плотность вероятности равна константе внутри данного круга:
pξηx,y=1πR2, (x,y)∈D0, (x,y)∉D
Уравнение окружности имеет вид
x2+y2=R2
Круг D=(x,y)x2+y2≤R2.
pηy=α(x)βxpξηx,ydx
x=±R2-y2
pηy=-R2-y2R2-y21πR2dx=2R2-y2πR2
pηy=2R2-y2πR2, y∈[-R,R]0, y∉[-R,R]
Условная плотность распределения:
pξxy=pξηx,ypηy=1πR22R2-y2πR2=12R2-y2 при (x,y)∈D
Вычислим условное математическое ожидание
Eηξ=x=-RRypηyxdy
В силу симметрии pξηx,y и области D (pξηy,x=pξηx,y):
pηyx=12R2-x2 при (x,y)∈D
Eηξ=x=-RRy2R2-x2dy=12R2-x2-RRydy=0
-RRydy=0 как интграл от нечётной функции
Следовательно,
Eηξ=32R=0.